Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38765 / 30089
↖ ↑ ↗
← N 14.557001°
E 32.942505°		 ← 591.24 m → N 14.557001°
E 32.947998°		 →
↑
591.23 m
↓
↑
591.23 m
↓
N 14.551684°
E 32.942505°		 ← 591.26 m →
349 563 m²		 N 14.551684°
E 32.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591514587402344 y=0.459129333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591514587402344 × 216)
    floor (0.591514587402344 × 65536)
    floor (38765.5)     		tx = 38765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459129333496094 × 216)
    floor (0.459129333496094 × 65536)
    floor (30089.5)     		ty = 30089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38765 / 30089 ti = "16/38765/30089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38765/30089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38765 ÷ 216
    38765 ÷ 65536     		x = 0.591506958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30089 ÷ 216
    30089 ÷ 65536     		y = 0.459121704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591506958007812 × 2 - 1) × π
    0.183013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57495517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459121704101562 × 2 - 1) × π
    0.081756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.256845908164261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57495517} λ = 0.57495517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.256845908164261))-π/2
    2×atan(1.29284589441251)-π/2
    2×0.912431961230311-π/2
    1.82486392246062-1.57079632675     		φ = 0.25406760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57495517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.942505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25406760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.557001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38765 KachelY 30089 0.57495517 0.25406760 32.942505 14.557001
    Oben rechts KachelX + 1 38766 KachelY 30089 0.57505105 0.25406760 32.947998 14.557001
    Unten links KachelX 38765 KachelY + 1 30090 0.57495517 0.25397480 32.942505 14.551684
    Unten rechts KachelX + 1 38766 KachelY + 1 30090 0.57505105 0.25397480 32.947998 14.551684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25406760-0.25397480) × R
    9.2800000000004e-05 × 6371000     		dl = 591.228800000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25406760-0.25397480) × R
    9.2800000000004e-05 × 6371000     		dr = 591.228800000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57495517-0.57505105) × cos(0.25406760) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.967898068644935 × 6371000     		do = 591.241967721197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57495517-0.57505105) × cos(0.25397480) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.967921389112237 × 6371000     		du = 591.256213063163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25406760)-sin(0.25397480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967898068644935-0.967921389112237)×R²
    abs(0.57505105-0.57495517)×2.33204673020238e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.33204673020238e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.33204673020238e-05×40589641000000     		ar = 349563.490464619m²