Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38765 / 30074
↖ ↑ ↗
← N 14.636739°
E 32.942505°		 ← 591.03 m → N 14.636739°
E 32.947998°		 →
↑
590.97 m
↓
↑
590.97 m
↓
N 14.631424°
E 32.942505°		 ← 591.04 m →
349 286 m²		 N 14.631424°
E 32.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591514587402344 y=0.458900451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591514587402344 × 216)
    floor (0.591514587402344 × 65536)
    floor (38765.5)     		tx = 38765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458900451660156 × 216)
    floor (0.458900451660156 × 65536)
    floor (30074.5)     		ty = 30074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38765 / 30074 ti = "16/38765/30074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38765/30074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38765 ÷ 216
    38765 ÷ 65536     		x = 0.591506958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30074 ÷ 216
    30074 ÷ 65536     		y = 0.458892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591506958007812 × 2 - 1) × π
    0.183013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57495517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458892822265625 × 2 - 1) × π
    0.08221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.258284015152863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57495517} λ = 0.57495517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258284015152863))-π/2
    2×atan(1.29470648267027)-π/2
    2×0.913127805727878-π/2
    1.82625561145576-1.57079632675     		φ = 0.25545928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57495517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.942505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25545928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.636739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38765 KachelY 30074 0.57495517 0.25545928 32.942505 14.636739
    Oben rechts KachelX + 1 38766 KachelY 30074 0.57505105 0.25545928 32.947998 14.636739
    Unten links KachelX 38765 KachelY + 1 30075 0.57495517 0.25536652 32.942505 14.631424
    Unten rechts KachelX + 1 38766 KachelY + 1 30075 0.57505105 0.25536652 32.947998 14.631424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25545928-0.25536652) × R
    9.2760000000025e-05 × 6371000     		dl = 590.97396000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25545928-0.25536652) × R
    9.2760000000025e-05 × 6371000     		dr = 590.97396000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57495517-0.57505105) × cos(0.25545928) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.967547342362835 × 6371000     		do = 591.027726052701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57495517-0.57505105) × cos(0.25536652) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.967570777707025 × 6371000     		du = 591.042041567384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25545928)-sin(0.25536652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967547342362835-0.967570777707025)×R²
    abs(0.57505105-0.57495517)×2.34353441896928e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.34353441896928e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.34353441896928e-05×40589641000000     		ar = 349286.226033733m²