Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38764 / 29020
↖ ↑ ↗
← N 20.159098°
E 32.937012°		 ← 573.37 m → N 20.159098°
E 32.942505°		 →
↑
573.39 m
↓
↑
573.39 m
↓
N 20.153942°
E 32.937012°		 ← 573.39 m →
328 770 m²		 N 20.153942°
E 32.942505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591499328613281 y=0.442817687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591499328613281 × 216)
    floor (0.591499328613281 × 65536)
    floor (38764.5)     		tx = 38764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442817687988281 × 216)
    floor (0.442817687988281 × 65536)
    floor (29020.5)     		ty = 29020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38764 / 29020 ti = "16/38764/29020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38764/29020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38764 ÷ 216
    38764 ÷ 65536     		x = 0.59149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29020 ÷ 216
    29020 ÷ 65536     		y = 0.44281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59149169921875 × 2 - 1) × π
    0.1829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57485930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    0.1143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359334999551941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57485930} λ = 0.57485930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359334999551941))-π/2
    2×atan(1.43237656671468)-π/2
    2×0.96131948292057-π/2
    1.92263896584114-1.57079632675     		φ = 0.35184264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57485930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.937012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35184264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.159098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38764 KachelY 29020 0.57485930 0.35184264 32.937012 20.159098
    Oben rechts KachelX + 1 38765 KachelY 29020 0.57495517 0.35184264 32.942505 20.159098
    Unten links KachelX 38764 KachelY + 1 29021 0.57485930 0.35175264 32.937012 20.153942
    Unten rechts KachelX + 1 38765 KachelY + 1 29021 0.57495517 0.35175264 32.942505 20.153942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35184264-0.35175264) × R
    8.9999999999979e-05 × 6371000     		dl = 573.389999999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35184264-0.35175264) × R
    8.9999999999979e-05 × 6371000     		dr = 573.389999999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57485930-0.57495517) × cos(0.35184264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93873928125295 × 6371000     		do = 573.37047220788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57485930-0.57495517) × cos(0.35175264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938770293984522 × 6371000     		du = 573.389414405038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35184264)-sin(0.35175264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93873928125295-0.938770293984522)×R²
    abs(0.57495517-0.57485930)×3.10127315719111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10127315719111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10127315719111e-05×40589641000000     		ar = 328770.325914481m²