Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38762 / 30070
↖ ↑ ↗
← N 14.657998°
E 32.926025°		 ← 590.97 m → N 14.657998°
E 32.931519°		 →
↑
590.97 m
↓
↑
590.97 m
↓
N 14.652683°
E 32.926025°		 ← 590.98 m →
349 252 m²		 N 14.652683°
E 32.931519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591468811035156 y=0.458839416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591468811035156 × 216)
    floor (0.591468811035156 × 65536)
    floor (38762.5)     		tx = 38762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458839416503906 × 216)
    floor (0.458839416503906 × 65536)
    floor (30070.5)     		ty = 30070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38762 / 30070 ti = "16/38762/30070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38762/30070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38762 ÷ 216
    38762 ÷ 65536     		x = 0.591461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30070 ÷ 216
    30070 ÷ 65536     		y = 0.458831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591461181640625 × 2 - 1) × π
    0.18292236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57466755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458831787109375 × 2 - 1) × π
    0.08233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.258667510349823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57466755} λ = 0.57466755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258667510349823))-π/2
    2×atan(1.29520309160534)-π/2
    2×0.913313321613825-π/2
    1.82662664322765-1.57079632675     		φ = 0.25583032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57466755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.926025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25583032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.657998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38762 KachelY 30070 0.57466755 0.25583032 32.926025 14.657998
    Oben rechts KachelX + 1 38763 KachelY 30070 0.57476343 0.25583032 32.931519 14.657998
    Unten links KachelX 38762 KachelY + 1 30071 0.57466755 0.25573756 32.926025 14.652683
    Unten rechts KachelX + 1 38763 KachelY + 1 30071 0.57476343 0.25573756 32.931519 14.652683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25583032-0.25573756) × R
    9.2760000000025e-05 × 6371000     		dl = 590.97396000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25583032-0.25573756) × R
    9.2760000000025e-05 × 6371000     		dr = 590.97396000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57466755-0.57476343) × cos(0.25583032) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.967453517736281 × 6371000     		do = 590.970413140026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57466755-0.57476343) × cos(0.25573756) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.967476986379985 × 6371000     		du = 590.984748995766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25583032)-sin(0.25573756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967453517736281-0.967476986379985)×R²
    abs(0.57476343-0.57466755)×2.34686437046161e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.34686437046161e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.34686437046161e-05×40589641000000     		ar = 349252.361605324m²