Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38759 / 30083
↖ ↑ ↗
← N 14.588899°
E 32.909546°		 ← 591.16 m → N 14.588899°
E 32.915039°		 →
↑
591.10 m
↓
↑
591.10 m
↓
N 14.583584°
E 32.909546°		 ← 591.17 m →
349 438 m²		 N 14.583584°
E 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591423034667969 y=0.459037780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591423034667969 × 216)
    floor (0.591423034667969 × 65536)
    floor (38759.5)     		tx = 38759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459037780761719 × 216)
    floor (0.459037780761719 × 65536)
    floor (30083.5)     		ty = 30083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38759 / 30083 ti = "16/38759/30083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38759/30083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38759 ÷ 216
    38759 ÷ 65536     		x = 0.591415405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30083 ÷ 216
    30083 ÷ 65536     		y = 0.459030151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591415405273438 × 2 - 1) × π
    0.182830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57437993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459030151367188 × 2 - 1) × π
    0.081939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.257421150959702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57437993} λ = 0.57437993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257421150959702))-π/2
    2×atan(1.29358980864402)-π/2
    2×0.912710329287429-π/2
    1.82542065857486-1.57079632675     		φ = 0.25462433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57437993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.909546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25462433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.588899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38759 KachelY 30083 0.57437993 0.25462433 32.909546 14.588899
    Oben rechts KachelX + 1 38760 KachelY 30083 0.57447581 0.25462433 32.915039 14.588899
    Unten links KachelX 38759 KachelY + 1 30084 0.57437993 0.25453155 32.909546 14.583584
    Unten rechts KachelX + 1 38760 KachelY + 1 30084 0.57447581 0.25453155 32.915039 14.583584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25462433-0.25453155) × R
    9.27800000000145e-05 × 6371000     		dl = 591.101380000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25462433-0.25453155) × R
    9.27800000000145e-05 × 6371000     		dr = 591.101380000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57437993-0.57447581) × cos(0.25462433) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.967757988436841 × 6371000     		do = 591.156399518764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57437993-0.57447581) × cos(0.25453155) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.9677813538713 × 6371000     		du = 591.170672328984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25462433)-sin(0.25453155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967757988436841-0.9677813538713)×R²
    abs(0.57447581-0.57437993)×2.33654344587997e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.33654344587997e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.33654344587997e-05×40589641000000     		ar = 349437.58214103m²