Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38759 / 30005
↖ ↑ ↗
← N 15.003158°
E 32.909546°		 ← 590.03 m → N 15.003158°
E 32.915039°		 →
↑
589.95 m
↓
↑
589.95 m
↓
N 14.997852°
E 32.909546°		 ← 590.04 m →
348 094 m²		 N 14.997852°
E 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591423034667969 y=0.457847595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591423034667969 × 216)
    floor (0.591423034667969 × 65536)
    floor (38759.5)     		tx = 38759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457847595214844 × 216)
    floor (0.457847595214844 × 65536)
    floor (30005.5)     		ty = 30005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38759 / 30005 ti = "16/38759/30005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38759/30005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38759 ÷ 216
    38759 ÷ 65536     		x = 0.591415405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30005 ÷ 216
    30005 ÷ 65536     		y = 0.457839965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591415405273438 × 2 - 1) × π
    0.182830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57437993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457839965820312 × 2 - 1) × π
    0.084320068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.26489930730043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57437993} λ = 0.57437993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26489930730043))-π/2
    2×atan(1.30329973640225)-π/2
    2×0.916325414734887-π/2
    1.83265082946977-1.57079632675     		φ = 0.26185450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57437993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.909546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26185450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.003158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38759 KachelY 30005 0.57437993 0.26185450 32.909546 15.003158
    Oben rechts KachelX + 1 38760 KachelY 30005 0.57447581 0.26185450 32.915039 15.003158
    Unten links KachelX 38759 KachelY + 1 30006 0.57437993 0.26176190 32.909546 14.997852
    Unten rechts KachelX + 1 38760 KachelY + 1 30006 0.57447581 0.26176190 32.915039 14.997852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26185450-0.26176190) × R
    9.25999999999982e-05 × 6371000     		dl = 589.954599999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26185450-0.26176190) × R
    9.25999999999982e-05 × 6371000     		dr = 589.954599999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57437993-0.57447581) × cos(0.26185450) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965911560734948 × 6371000     		do = 590.028506424349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57437993-0.57447581) × cos(0.26176190) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.96593552816672 × 6371000     		du = 590.043146965519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26185450)-sin(0.26176190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965911560734948-0.96593552816672)×R²
    abs(0.57447581-0.57437993)×2.39674317719096e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.39674317719096e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.39674317719096e-05×40589641000000     		ar = 348094.350372115m²