Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38758 / 29031
↖ ↑ ↗
← N 20.102365°
E 32.904053°		 ← 573.58 m → N 20.102365°
E 32.909546°		 →
↑
573.58 m
↓
↑
573.58 m
↓
N 20.097206°
E 32.904053°		 ← 573.60 m →
328 999 m²		 N 20.097206°
E 32.909546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591407775878906 y=0.442985534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591407775878906 × 216)
    floor (0.591407775878906 × 65536)
    floor (38758.5)     		tx = 38758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442985534667969 × 216)
    floor (0.442985534667969 × 65536)
    floor (29031.5)     		ty = 29031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38758 / 29031 ti = "16/38758/29031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38758/29031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38758 ÷ 216
    38758 ÷ 65536     		x = 0.591400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29031 ÷ 216
    29031 ÷ 65536     		y = 0.442977905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591400146484375 × 2 - 1) × π
    0.18280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57428406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442977905273438 × 2 - 1) × π
    0.114044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3582803877603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57428406} λ = 0.57428406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3582803877603))-π/2
    2×atan(1.43086676176634)-π/2
    2×0.960824390278644-π/2
    1.92164878055729-1.57079632675     		φ = 0.35085245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57428406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.904053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35085245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.102365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38758 KachelY 29031 0.57428406 0.35085245 32.904053 20.102365
    Oben rechts KachelX + 1 38759 KachelY 29031 0.57437993 0.35085245 32.909546 20.102365
    Unten links KachelX 38758 KachelY + 1 29032 0.57428406 0.35076242 32.904053 20.097206
    Unten rechts KachelX + 1 38759 KachelY + 1 29032 0.57437993 0.35076242 32.909546 20.097206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35085245-0.35076242) × R
    9.00299999999632e-05 × 6371000     		dl = 573.581129999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35085245-0.35076242) × R
    9.00299999999632e-05 × 6371000     		dr = 573.581129999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57428406-0.57437993) × cos(0.35085245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93908006833938 × 6371000     		do = 573.578620792445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57428406-0.57437993) × cos(0.35076242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939111007705075 × 6371000     		du = 573.597518178623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35085245)-sin(0.35076242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93908006833938-0.939111007705075)×R²
    abs(0.57437993-0.57428406)×3.09393656952039e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09393656952039e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09393656952039e-05×40589641000000     		ar = 328999.293272177m²