Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38757 / 30097
↖ ↑ ↗
← N 14.514463°
E 32.898559°		 ← 591.36 m → N 14.514463°
E 32.904053°		 →
↑
591.36 m
↓
↑
591.36 m
↓
N 14.509144°
E 32.898559°		 ← 591.37 m →
349 706 m²		 N 14.509144°
E 32.904053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591392517089844 y=0.459251403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591392517089844 × 216)
    floor (0.591392517089844 × 65536)
    floor (38757.5)     		tx = 38757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459251403808594 × 216)
    floor (0.459251403808594 × 65536)
    floor (30097.5)     		ty = 30097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38757 / 30097 ti = "16/38757/30097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38757/30097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38757 ÷ 216
    38757 ÷ 65536     		x = 0.591384887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30097 ÷ 216
    30097 ÷ 65536     		y = 0.459243774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591384887695312 × 2 - 1) × π
    0.182769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57418818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459243774414062 × 2 - 1) × π
    0.081512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.25607891777034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57418818} λ = 0.57418818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.25607891777034))-π/2
    2×atan(1.29185467420746)-π/2
    2×0.912060741223199-π/2
    1.8241214824464-1.57079632675     		φ = 0.25332516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57418818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.898559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25332516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.514463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38757 KachelY 30097 0.57418818 0.25332516 32.898559 14.514463
    Oben rechts KachelX + 1 38758 KachelY 30097 0.57428406 0.25332516 32.904053 14.514463
    Unten links KachelX 38757 KachelY + 1 30098 0.57418818 0.25323234 32.898559 14.509144
    Unten rechts KachelX + 1 38758 KachelY + 1 30098 0.57428406 0.25323234 32.904053 14.509144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25332516-0.25323234) × R
    9.28199999999935e-05 × 6371000     		dl = 591.356219999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25332516-0.25323234) × R
    9.28199999999935e-05 × 6371000     		dr = 591.356219999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57418818-0.57428406) × cos(0.25332516) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.968084409000733 × 6371000     		do = 591.355794002635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57418818-0.57428406) × cos(0.25323234) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.968107667784842 × 6371000     		du = 591.370001665331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25332516)-sin(0.25323234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968084409000733-0.968107667784842)×R²
    abs(0.57428406-0.57418818)×2.32587841085818e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.32587841085818e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.32587841085818e-05×40589641000000     		ar = 349706.128162416m²