Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38757 / 30079
↖ ↑ ↗
← N 14.610163°
E 32.898559°		 ← 591.10 m → N 14.610163°
E 32.904053°		 →
↑
591.04 m
↓
↑
591.04 m
↓
N 14.604847°
E 32.898559°		 ← 591.11 m →
349 366 m²		 N 14.604847°
E 32.904053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591392517089844 y=0.458976745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591392517089844 × 216)
    floor (0.591392517089844 × 65536)
    floor (38757.5)     		tx = 38757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458976745605469 × 216)
    floor (0.458976745605469 × 65536)
    floor (30079.5)     		ty = 30079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38757 / 30079 ti = "16/38757/30079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38757/30079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38757 ÷ 216
    38757 ÷ 65536     		x = 0.591384887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30079 ÷ 216
    30079 ÷ 65536     		y = 0.458969116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591384887695312 × 2 - 1) × π
    0.182769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57418818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458969116210938 × 2 - 1) × π
    0.082061767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257804646156662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57418818} λ = 0.57418818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257804646156662))-π/2
    2×atan(1.29408598925784)-π/2
    2×0.912895885591181-π/2
    1.82579177118236-1.57079632675     		φ = 0.25499544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57418818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.898559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25499544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.610163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38757 KachelY 30079 0.57418818 0.25499544 32.898559 14.610163
    Oben rechts KachelX + 1 38758 KachelY 30079 0.57428406 0.25499544 32.904053 14.610163
    Unten links KachelX 38757 KachelY + 1 30080 0.57418818 0.25490267 32.898559 14.604847
    Unten rechts KachelX + 1 38758 KachelY + 1 30080 0.57428406 0.25490267 32.904053 14.604847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25499544-0.25490267) × R
    9.27700000000198e-05 × 6371000     		dl = 591.037670000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25499544-0.25490267) × R
    9.27700000000198e-05 × 6371000     		dr = 591.037670000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57418818-0.57428406) × cos(0.25499544) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.967664445917578 × 6371000     		do = 591.099258931745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57418818-0.57428406) × cos(0.25490267) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.96768784215076 × 6371000     		du = 591.11355055541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25499544)-sin(0.25490267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967664445917578-0.96768784215076)×R²
    abs(0.57428406-0.57418818)×2.3396233181372e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.3396233181372e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.3396233181372e-05×40589641000000     		ar = 349366.152432357m²