Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38756 / 30060
↖ ↑ ↗
← N 14.711135°
E 32.893066°		 ← 590.77 m → N 14.711135°
E 32.898559°		 →
↑
590.78 m
↓
↑
590.78 m
↓
N 14.705822°
E 32.893066°		 ← 590.78 m →
349 018 m²		 N 14.705822°
E 32.898559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591377258300781 y=0.458686828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591377258300781 × 216)
    floor (0.591377258300781 × 65536)
    floor (38756.5)     		tx = 38756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458686828613281 × 216)
    floor (0.458686828613281 × 65536)
    floor (30060.5)     		ty = 30060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38756 / 30060 ti = "16/38756/30060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38756/30060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38756 ÷ 216
    38756 ÷ 65536     		x = 0.59136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30060 ÷ 216
    30060 ÷ 65536     		y = 0.45867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59136962890625 × 2 - 1) × π
    0.1827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57409231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45867919921875 × 2 - 1) × π
    0.0826416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.259626248342224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57409231} λ = 0.57409231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259626248342224))-π/2
    2×atan(1.29644544746885)-π/2
    2×0.913777032517297-π/2
    1.82755406503459-1.57079632675     		φ = 0.25675774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57409231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.893066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25675774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.711135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38756 KachelY 30060 0.57409231 0.25675774 32.893066 14.711135
    Oben rechts KachelX + 1 38757 KachelY 30060 0.57418818 0.25675774 32.898559 14.711135
    Unten links KachelX 38756 KachelY + 1 30061 0.57409231 0.25666501 32.893066 14.705822
    Unten rechts KachelX + 1 38757 KachelY + 1 30061 0.57418818 0.25666501 32.898559 14.705822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25675774-0.25666501) × R
    9.27299999999853e-05 × 6371000     		dl = 590.782829999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25675774-0.25666501) × R
    9.27299999999853e-05 × 6371000     		dr = 590.782829999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57409231-0.57418818) × cos(0.25675774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967218419202297 × 6371000     		do = 590.765181367483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57409231-0.57418818) × cos(0.25666501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967241963448807 × 6371000     		du = 590.779561905306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25675774)-sin(0.25666501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967218419202297-0.967241963448807)×R²
    abs(0.57418818-0.57409231)×2.35442465102986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.35442465102986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.35442465102986e-05×40589641000000     		ar = 349018.173851316m²