Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38755 / 30069
↖ ↑ ↗
← N 14.663312°
E 32.887573°		 ← 590.89 m → N 14.663312°
E 32.893066°		 →
↑
590.91 m
↓
↑
590.91 m
↓
N 14.657998°
E 32.887573°		 ← 590.91 m →
349 170 m²		 N 14.657998°
E 32.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591361999511719 y=0.458824157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591361999511719 × 216)
    floor (0.591361999511719 × 65536)
    floor (38755.5)     		tx = 38755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458824157714844 × 216)
    floor (0.458824157714844 × 65536)
    floor (30069.5)     		ty = 30069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38755 / 30069 ti = "16/38755/30069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38755/30069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38755 ÷ 216
    38755 ÷ 65536     		x = 0.591354370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30069 ÷ 216
    30069 ÷ 65536     		y = 0.458816528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591354370117188 × 2 - 1) × π
    0.182708740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57399644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458816528320312 × 2 - 1) × π
    0.082366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.258763384149063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57399644} λ = 0.57399644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258763384149063))-π/2
    2×atan(1.29532727359932)-π/2
    2×0.913359697773407-π/2
    1.82671939554681-1.57079632675     		φ = 0.25592307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57399644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.887573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25592307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.663312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38755 KachelY 30069 0.57399644 0.25592307 32.887573 14.663312
    Oben rechts KachelX + 1 38756 KachelY 30069 0.57409231 0.25592307 32.893066 14.663312
    Unten links KachelX 38755 KachelY + 1 30070 0.57399644 0.25583032 32.887573 14.657998
    Unten rechts KachelX + 1 38756 KachelY + 1 30070 0.57409231 0.25583032 32.893066 14.657998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25592307-0.25583032) × R
    9.27499999999748e-05 × 6371000     		dl = 590.910249999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25592307-0.25583032) × R
    9.27499999999748e-05 × 6371000     		dr = 590.910249999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57399644-0.57409231) × cos(0.25592307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967430043299587 × 6371000     		do = 590.894438777945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57399644-0.57409231) × cos(0.25583032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967453517736281 × 6371000     		du = 590.908776676785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25592307)-sin(0.25583032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967430043299587-0.967453517736281)×R²
    abs(0.57409231-0.57399644)×2.34744366932604e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34744366932604e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34744366932604e-05×40589641000000     		ar = 349169.816997887m²