Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38753 / 28703
↖ ↑ ↗
← N 21.785006°
E 32.876587°		 ← 567.17 m → N 21.785006°
E 32.882080°		 →
↑
567.21 m
↓
↑
567.21 m
↓
N 21.779905°
E 32.876587°		 ← 567.19 m →
321 709 m²		 N 21.779905°
E 32.882080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591331481933594 y=0.437980651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591331481933594 × 216)
    floor (0.591331481933594 × 65536)
    floor (38753.5)     		tx = 38753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437980651855469 × 216)
    floor (0.437980651855469 × 65536)
    floor (28703.5)     		ty = 28703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38753 / 28703 ti = "16/38753/28703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38753/28703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38753 ÷ 216
    38753 ÷ 65536     		x = 0.591323852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28703 ÷ 216
    28703 ÷ 65536     		y = 0.437973022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591323852539062 × 2 - 1) × π
    0.182647705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57380469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437973022460938 × 2 - 1) × π
    0.124053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.389726993911057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57380469} λ = 0.57380469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389726993911057))-π/2
    2×atan(1.47657762416906)-π/2
    2×0.975508207073084-π/2
    1.95101641414617-1.57079632675     		φ = 0.38022009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57380469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.876587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38022009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.785006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38753 KachelY 28703 0.57380469 0.38022009 32.876587 21.785006
    Oben rechts KachelX + 1 38754 KachelY 28703 0.57390056 0.38022009 32.882080 21.785006
    Unten links KachelX 38753 KachelY + 1 28704 0.57380469 0.38013106 32.876587 21.779905
    Unten rechts KachelX + 1 38754 KachelY + 1 28704 0.57390056 0.38013106 32.882080 21.779905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38022009-0.38013106) × R
    8.902999999999e-05 × 6371000     		dl = 567.210129999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38022009-0.38013106) × R
    8.902999999999e-05 × 6371000     		dr = 567.210129999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57380469-0.57390056) × cos(0.38022009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928582977198981 × 6371000     		do = 567.167125903314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57380469-0.57390056) × cos(0.38013106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92861601476422 × 6371000     		du = 567.187304844113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38022009)-sin(0.38013106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928582977198981-0.92861601476422)×R²
    abs(0.57390056-0.57380469)×3.30375652395354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30375652395354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30375652395354e-05×40589641000000     		ar = 321708.662277616m²