Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3875 / 805
↖ ↑ ↗
← N 73.099413°
E160.576172°		 ← 2 841.12 m → N 73.099413°
E160.664062°		 →
↑
2 843.19 m
↓
↑
2 843.19 m
↓
N 73.073844°
E160.576172°		 ← 2 845.30 m →
8 083 778 m²		 N 73.073844°
E160.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9461669921875 y=0.1966552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9461669921875 × 212)
    floor (0.9461669921875 × 4096)
    floor (3875.5)     		tx = 3875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1966552734375 × 212)
    floor (0.1966552734375 × 4096)
    floor (805.5)     		ty = 805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3875 / 805 ti = "12/3875/805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3875/805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3875 ÷ 212
    3875 ÷ 4096     		x = 0.946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 805 ÷ 212
    805 ÷ 4096     		y = 0.196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946044921875 × 2 - 1) × π
    0.89208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80258290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196533203125 × 2 - 1) × π
    0.60693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90673811928735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80258290} λ = 2.80258290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90673811928735))-π/2
    2×atan(6.73109691537754)-π/2
    2×1.42331088359373-π/2
    2.84662176718745-1.57079632675     		φ = 1.27582544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80258290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27582544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.099413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3875 KachelY 805 2.80258290 1.27582544 160.576172 73.099413
    Oben rechts KachelX + 1 3876 KachelY 805 2.80411688 1.27582544 160.664062 73.099413
    Unten links KachelX 3875 KachelY + 1 806 2.80258290 1.27537917 160.576172 73.073844
    Unten rechts KachelX + 1 3876 KachelY + 1 806 2.80411688 1.27537917 160.664062 73.073844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27582544-1.27537917) × R
    0.000446270000000082 × 6371000     		dl = 2843.18617000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27582544-1.27537917) × R
    0.000446270000000082 × 6371000     		dr = 2843.18617000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80258290-2.80411688) × cos(1.27582544) × R
    0.00153398000000005 × 0.290711994423421 × 6371000     		do = 2841.12442014522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80258290-2.80411688) × cos(1.27537917) × R
    0.00153398000000005 × 0.291138961329864 × 6371000     		du = 2845.29716199198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27582544)-sin(1.27537917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290711994423421-0.291138961329864)×R²
    abs(2.80411688-2.80258290)×0.000426966906442228×R²
    0.00153398000000005×0.000426966906442228×6371000²
    0.00153398000000005×0.000426966906442228×40589641000000     		ar = 8083777.73372317m²