Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3875 / 2467
↖ ↑ ↗
← N 58.008098°
W  9.711914°		 ← 2 588.86 m → N 58.008098°
W  9.667969°		 →
↑
2 589.68 m
↓
↑
2 589.68 m
↓
N 57.984808°
W  9.711914°		 ← 2 590.55 m →
6 706 514 m²		 N 57.984808°
W  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47308349609375 y=0.30120849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47308349609375 × 213)
    floor (0.47308349609375 × 8192)
    floor (3875.5)     		tx = 3875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30120849609375 × 213)
    floor (0.30120849609375 × 8192)
    floor (2467.5)     		ty = 2467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3875 / 2467 ti = "13/3875/2467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3875/2467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3875 ÷ 213
    3875 ÷ 8192     		x = 0.4730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2467 ÷ 213
    2467 ÷ 8192     		y = 0.3011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16950488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3011474609375 × 2 - 1) × π
    0.397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24942735169714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16950488} λ = -0.16950488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24942735169714))-π/2
    2×atan(3.48834479066888)-π/2
    2×1.29161431304194-π/2
    2.58322862608389-1.57079632675     		φ = 1.01243230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16950488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01243230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.008098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3875 KachelY 2467 -0.16950488 1.01243230 -9.711914 58.008098
    Oben rechts KachelX + 1 3876 KachelY 2467 -0.16873789 1.01243230 -9.667969 58.008098
    Unten links KachelX 3875 KachelY + 1 2468 -0.16950488 1.01202582 -9.711914 57.984808
    Unten rechts KachelX + 1 3876 KachelY + 1 2468 -0.16873789 1.01202582 -9.667969 57.984808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01243230-1.01202582) × R
    0.000406479999999876 × 6371000     		dl = 2589.68407999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01243230-1.01202582) × R
    0.000406479999999876 × 6371000     		dr = 2589.68407999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16950488--0.16873789) × cos(1.01243230) × R
    0.000766989999999995 × 0.529799401044244 × 6371000     		do = 2588.8612182487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16950488--0.16873789) × cos(1.01202582) × R
    0.000766989999999995 × 0.530144102296652 × 6371000     		du = 2590.54559860565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01243230)-sin(1.01202582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529799401044244-0.530144102296652)×R²
    abs(-0.16873789--0.16950488)×0.00034470125240782×R²
    0.000766989999999995×0.00034470125240782×6371000²
    0.000766989999999995×0.00034470125240782×40589641000000     		ar = 6706513.78106136m²