Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3875 / 2458
↖ ↑ ↗
← N 58.217025°
W  9.711914°		 ← 2 573.73 m → N 58.217025°
W  9.667969°		 →
↑
2 574.58 m
↓
↑
2 574.58 m
↓
N 58.193871°
W  9.711914°		 ← 2 575.41 m →
6 628 451 m²		 N 58.193871°
W  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47308349609375 y=0.30010986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47308349609375 × 213)
    floor (0.47308349609375 × 8192)
    floor (3875.5)     		tx = 3875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30010986328125 × 213)
    floor (0.30010986328125 × 8192)
    floor (2458.5)     		ty = 2458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3875 / 2458 ti = "13/3875/2458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3875/2458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3875 ÷ 213
    3875 ÷ 8192     		x = 0.4730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2458 ÷ 213
    2458 ÷ 8192     		y = 0.300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16950488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300048828125 × 2 - 1) × π
    0.39990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25633026524243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16950488} λ = -0.16950488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25633026524243))-π/2
    2×atan(3.51250783493001)-π/2
    2×1.29343754643111-π/2
    2.58687509286222-1.57079632675     		φ = 1.01607877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16950488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01607877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.217025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3875 KachelY 2458 -0.16950488 1.01607877 -9.711914 58.217025
    Oben rechts KachelX + 1 3876 KachelY 2458 -0.16873789 1.01607877 -9.667969 58.217025
    Unten links KachelX 3875 KachelY + 1 2459 -0.16950488 1.01567466 -9.711914 58.193871
    Unten rechts KachelX + 1 3876 KachelY + 1 2459 -0.16873789 1.01567466 -9.667969 58.193871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01607877-1.01567466) × R
    0.000404110000000069 × 6371000     		dl = 2574.58481000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01607877-1.01567466) × R
    0.000404110000000069 × 6371000     		dr = 2574.58481000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16950488--0.16873789) × cos(1.01607877) × R
    0.000766989999999995 × 0.526703230583894 × 6371000     		do = 2573.7318020695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16950488--0.16873789) × cos(1.01567466) × R
    0.000766989999999995 × 0.527046700965475 × 6371000     		du = 2575.41016778441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01607877)-sin(1.01567466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526703230583894-0.527046700965475)×R²
    abs(-0.16873789--0.16950488)×0.000343470381580779×R²
    0.000766989999999995×0.000343470381580779×6371000²
    0.000766989999999995×0.000343470381580779×40589641000000     		ar = 6628451.44026596m²