Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38747 / 30177
↖ ↑ ↗
← N 14.088629°
E 32.843628°		 ← 592.42 m → N 14.088629°
E 32.849121°		 →
↑
592.44 m
↓
↑
592.44 m
↓
N 14.083301°
E 32.843628°		 ← 592.43 m →
350 974 m²		 N 14.083301°
E 32.849121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591239929199219 y=0.460472106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591239929199219 × 216)
    floor (0.591239929199219 × 65536)
    floor (38747.5)     		tx = 38747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460472106933594 × 216)
    floor (0.460472106933594 × 65536)
    floor (30177.5)     		ty = 30177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38747 / 30177 ti = "16/38747/30177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38747/30177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38747 ÷ 216
    38747 ÷ 65536     		x = 0.591232299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30177 ÷ 216
    30177 ÷ 65536     		y = 0.460464477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591232299804688 × 2 - 1) × π
    0.182464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57322945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460464477539062 × 2 - 1) × π
    0.079071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.248409013831131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57322945} λ = 0.57322945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248409013831131))-π/2
    2×atan(1.28198417423414)-π/2
    2×0.908344647656654-π/2
    1.81668929531331-1.57079632675     		φ = 0.24589297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57322945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.843628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24589297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.088629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38747 KachelY 30177 0.57322945 0.24589297 32.843628 14.088629
    Oben rechts KachelX + 1 38748 KachelY 30177 0.57332532 0.24589297 32.849121 14.088629
    Unten links KachelX 38747 KachelY + 1 30178 0.57322945 0.24579998 32.843628 14.083301
    Unten rechts KachelX + 1 38748 KachelY + 1 30178 0.57332532 0.24579998 32.849121 14.083301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24589297-0.24579998) × R
    9.29899999999872e-05 × 6371000     		dl = 592.439289999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24589297-0.24579998) × R
    9.29899999999872e-05 × 6371000     		dr = 592.439289999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57322945-0.57332532) × cos(0.24589297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96992034268857 × 6371000     		do = 592.415483188374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57322945-0.57332532) × cos(0.24579998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969942974356222 × 6371000     		du = 592.429306334191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24589297)-sin(0.24579998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96992034268857-0.969942974356222)×R²
    abs(0.57332532-0.57322945)×2.2631667652373e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2631667652373e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2631667652373e-05×40589641000000     		ar = 350974.303185275m²