Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38746 / 30178
↖ ↑ ↗
← N 14.083301°
E 32.838135°		 ← 592.49 m → N 14.083301°
E 32.843628°		 →
↑
592.50 m
↓
↑
592.50 m
↓
N 14.077973°
E 32.838135°		 ← 592.50 m →
351 057 m²		 N 14.077973°
E 32.843628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591224670410156 y=0.460487365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591224670410156 × 216)
    floor (0.591224670410156 × 65536)
    floor (38746.5)     		tx = 38746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460487365722656 × 216)
    floor (0.460487365722656 × 65536)
    floor (30178.5)     		ty = 30178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38746 / 30178 ti = "16/38746/30178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38746/30178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38746 ÷ 216
    38746 ÷ 65536     		x = 0.591217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30178 ÷ 216
    30178 ÷ 65536     		y = 0.460479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591217041015625 × 2 - 1) × π
    0.18243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57313357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460479736328125 × 2 - 1) × π
    0.07904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.248313140031891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57313357} λ = 0.57313357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248313140031891))-π/2
    2×atan(1.28186127143247)-π/2
    2×0.908298152140046-π/2
    1.81659630428009-1.57079632675     		φ = 0.24579998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57313357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.838135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24579998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.083301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38746 KachelY 30178 0.57313357 0.24579998 32.838135 14.083301
    Oben rechts KachelX + 1 38747 KachelY 30178 0.57322945 0.24579998 32.843628 14.083301
    Unten links KachelX 38746 KachelY + 1 30179 0.57313357 0.24570698 32.838135 14.077973
    Unten rechts KachelX + 1 38747 KachelY + 1 30179 0.57322945 0.24570698 32.843628 14.077973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24579998-0.24570698) × R
    9.30000000000097e-05 × 6371000     		dl = 592.503000000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24579998-0.24570698) × R
    9.30000000000097e-05 × 6371000     		dr = 592.503000000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57313357-0.57322945) × cos(0.24579998) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.969942974356222 × 6371000     		do = 592.491101401398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57313357-0.57322945) × cos(0.24570698) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.969965600069063 × 6371000     		du = 592.504922351573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24579998)-sin(0.24570698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969942974356222-0.969965600069063)×R²
    abs(0.57322945-0.57313357)×2.26257128410623e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.26257128410623e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.26257128410623e-05×40589641000000     		ar = 351056.849783915m²