Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38745 / 30169
↖ ↑ ↗
← N 14.131249°
E 32.832642°		 ← 592.30 m → N 14.131249°
E 32.838135°		 →
↑
592.38 m
↓
↑
592.38 m
↓
N 14.125921°
E 32.832642°		 ← 592.32 m →
350 871 m²		 N 14.125921°
E 32.838135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591209411621094 y=0.460350036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591209411621094 × 216)
    floor (0.591209411621094 × 65536)
    floor (38745.5)     		tx = 38745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460350036621094 × 216)
    floor (0.460350036621094 × 65536)
    floor (30169.5)     		ty = 30169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38745 / 30169 ti = "16/38745/30169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38745/30169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38745 ÷ 216
    38745 ÷ 65536     		x = 0.591201782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30169 ÷ 216
    30169 ÷ 65536     		y = 0.460342407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591201782226562 × 2 - 1) × π
    0.182403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57303770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460342407226562 × 2 - 1) × π
    0.079315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.249176004225052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57303770} λ = 0.57303770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.249176004225052))-π/2
    2×atan(1.28296782095651)-π/2
    2×0.908716572694551-π/2
    1.8174331453891-1.57079632675     		φ = 0.24663682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57303770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.832642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24663682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.131249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38745 KachelY 30169 0.57303770 0.24663682 32.832642 14.131249
    Oben rechts KachelX + 1 38746 KachelY 30169 0.57313357 0.24663682 32.838135 14.131249
    Unten links KachelX 38745 KachelY + 1 30170 0.57303770 0.24654384 32.832642 14.125921
    Unten rechts KachelX + 1 38746 KachelY + 1 30170 0.57313357 0.24654384 32.838135 14.125921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24663682-0.24654384) × R
    9.29800000000203e-05 × 6371000     		dl = 592.375580000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24663682-0.24654384) × R
    9.29800000000203e-05 × 6371000     		dr = 592.375580000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57303770-0.57313357) × cos(0.24663682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969739004520547 × 6371000     		do = 592.304724053112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57303770-0.57313357) × cos(0.24654384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969761700832161 × 6371000     		du = 592.31858668267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24663682)-sin(0.24654384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969739004520547-0.969761700832161)×R²
    abs(0.57313357-0.57303770)×2.2696311613446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2696311613446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2696311613446e-05×40589641000000     		ar = 350870.960642191m²