Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38743 / 30039
↖ ↑ ↗
← N 14.822681°
E 32.821655°		 ← 590.46 m → N 14.822681°
E 32.827148°		 →
↑
590.53 m
↓
↑
590.53 m
↓
N 14.817370°
E 32.821655°		 ← 590.48 m →
348 689 m²		 N 14.817370°
E 32.827148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591178894042969 y=0.458366394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591178894042969 × 216)
    floor (0.591178894042969 × 65536)
    floor (38743.5)     		tx = 38743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458366394042969 × 216)
    floor (0.458366394042969 × 65536)
    floor (30039.5)     		ty = 30039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38743 / 30039 ti = "16/38743/30039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38743/30039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38743 ÷ 216
    38743 ÷ 65536     		x = 0.591171264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30039 ÷ 216
    30039 ÷ 65536     		y = 0.458358764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591171264648438 × 2 - 1) × π
    0.182342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57284595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458358764648438 × 2 - 1) × π
    0.083282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.261639598126266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57284595} λ = 0.57284595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261639598126266))-π/2
    2×atan(1.29905827501582)-π/2
    2×0.914750457531777-π/2
    1.82950091506355-1.57079632675     		φ = 0.25870459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57284595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.821655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25870459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.822681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38743 KachelY 30039 0.57284595 0.25870459 32.821655 14.822681
    Oben rechts KachelX + 1 38744 KachelY 30039 0.57294182 0.25870459 32.827148 14.822681
    Unten links KachelX 38743 KachelY + 1 30040 0.57284595 0.25861190 32.821655 14.817370
    Unten rechts KachelX + 1 38744 KachelY + 1 30040 0.57294182 0.25861190 32.827148 14.817370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25870459-0.25861190) × R
    9.26900000000064e-05 × 6371000     		dl = 590.527990000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25870459-0.25861190) × R
    9.26900000000064e-05 × 6371000     		dr = 590.527990000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57284595-0.57294182) × cos(0.25870459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96672219191595 × 6371000     		do = 590.462091809842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57284595-0.57294182) × cos(0.25861190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966745900503599 × 6371000     		du = 590.476572725222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25870459)-sin(0.25861190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96672219191595-0.966745900503599)×R²
    abs(0.57294182-0.57284595)×2.37085876486631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.37085876486631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.37085876486631e-05×40589641000000     		ar = 348688.668190299m²