Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38743 / 28747
↖ ↑ ↗
← N 21.560393°
E 32.821655°		 ← 568.05 m → N 21.560393°
E 32.827148°		 →
↑
568.10 m
↓
↑
568.10 m
↓
N 21.555284°
E 32.821655°		 ← 568.07 m →
322 717 m²		 N 21.555284°
E 32.827148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591178894042969 y=0.438652038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591178894042969 × 216)
    floor (0.591178894042969 × 65536)
    floor (38743.5)     		tx = 38743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438652038574219 × 216)
    floor (0.438652038574219 × 65536)
    floor (28747.5)     		ty = 28747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38743 / 28747 ti = "16/38743/28747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38743/28747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38743 ÷ 216
    38743 ÷ 65536     		x = 0.591171264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28747 ÷ 216
    28747 ÷ 65536     		y = 0.438644409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591171264648438 × 2 - 1) × π
    0.182342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57284595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438644409179688 × 2 - 1) × π
    0.122711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.385508546744492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57284595} λ = 0.57284595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385508546744492))-π/2
    2×atan(1.47036187908786)-π/2
    2×0.973548089019987-π/2
    1.94709617803997-1.57079632675     		φ = 0.37629985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57284595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.821655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37629985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.560393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38743 KachelY 28747 0.57284595 0.37629985 32.821655 21.560393
    Oben rechts KachelX + 1 38744 KachelY 28747 0.57294182 0.37629985 32.827148 21.560393
    Unten links KachelX 38743 KachelY + 1 28748 0.57284595 0.37621068 32.821655 21.555284
    Unten rechts KachelX + 1 38744 KachelY + 1 28748 0.57294182 0.37621068 32.827148 21.555284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37629985-0.37621068) × R
    8.91699999999718e-05 × 6371000     		dl = 568.10206999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37629985-0.37621068) × R
    8.91699999999718e-05 × 6371000     		dr = 568.10206999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57284595-0.57294182) × cos(0.37629985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930030736602061 × 6371000     		do = 568.051399640618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57284595-0.57294182) × cos(0.37621068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93006350125127 × 6371000     		du = 568.071411887643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37629985)-sin(0.37621068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930030736602061-0.93006350125127)×R²
    abs(0.57294182-0.57284595)×3.27646492095379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27646492095379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27646492095379e-05×40589641000000     		ar = 322716.860715498m²