Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38742 / 28751
↖ ↑ ↗
← N 21.539956°
E 32.816162°		 ← 568.13 m → N 21.539956°
E 32.821655°		 →
↑
568.17 m
↓
↑
568.17 m
↓
N 21.534847°
E 32.816162°		 ← 568.15 m →
322 799 m²		 N 21.534847°
E 32.821655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591163635253906 y=0.438713073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591163635253906 × 216)
    floor (0.591163635253906 × 65536)
    floor (38742.5)     		tx = 38742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438713073730469 × 216)
    floor (0.438713073730469 × 65536)
    floor (28751.5)     		ty = 28751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38742 / 28751 ti = "16/38742/28751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38742/28751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38742 ÷ 216
    38742 ÷ 65536     		x = 0.591156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28751 ÷ 216
    28751 ÷ 65536     		y = 0.438705444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591156005859375 × 2 - 1) × π
    0.18231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57275008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438705444335938 × 2 - 1) × π
    0.122589111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.385125051547531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57275008} λ = 0.57275008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385125051547531))-π/2
    2×atan(1.46979811047763)-π/2
    2×0.973369745297129-π/2
    1.94673949059426-1.57079632675     		φ = 0.37594316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57275008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.816162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37594316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.539956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38742 KachelY 28751 0.57275008 0.37594316 32.816162 21.539956
    Oben rechts KachelX + 1 38743 KachelY 28751 0.57284595 0.37594316 32.821655 21.539956
    Unten links KachelX 38742 KachelY + 1 28752 0.57275008 0.37585398 32.816162 21.534847
    Unten rechts KachelX + 1 38743 KachelY + 1 28752 0.57284595 0.37585398 32.821655 21.534847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37594316-0.37585398) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dl = 568.16578000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37594316-0.37585398) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dr = 568.16578000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57275008-0.57284595) × cos(0.37594316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930161754498136 × 6371000     		do = 568.131423769191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57275008-0.57284595) × cos(0.37585398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930194493234809 × 6371000     		du = 568.151420189157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37594316)-sin(0.37585398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930161754498136-0.930194493234809)×R²
    abs(0.57284595-0.57275008)×3.27387366735321e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27387366735321e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27387366735321e-05×40589641000000     		ar = 322798.514383111m²