Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38741 / 29101
↖ ↑ ↗
← N 19.740854°
E 32.810669°		 ← 574.95 m → N 19.740854°
E 32.816162°		 →
↑
574.92 m
↓
↑
574.92 m
↓
N 19.735684°
E 32.810669°		 ← 574.97 m →
330 556 m²		 N 19.735684°
E 32.816162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591148376464844 y=0.444053649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591148376464844 × 216)
    floor (0.591148376464844 × 65536)
    floor (38741.5)     		tx = 38741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444053649902344 × 216)
    floor (0.444053649902344 × 65536)
    floor (29101.5)     		ty = 29101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38741 / 29101 ti = "16/38741/29101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38741/29101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38741 ÷ 216
    38741 ÷ 65536     		x = 0.591140747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29101 ÷ 216
    29101 ÷ 65536     		y = 0.444046020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591140747070312 × 2 - 1) × π
    0.182281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57265420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444046020507812 × 2 - 1) × π
    0.111907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.351569221813492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57265420} λ = 0.57265420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351569221813492))-π/2
    2×atan(1.42129612845608)-π/2
    2×0.957669613058007-π/2
    1.91533922611601-1.57079632675     		φ = 0.34454290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57265420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.810669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34454290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.740854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38741 KachelY 29101 0.57265420 0.34454290 32.810669 19.740854
    Oben rechts KachelX + 1 38742 KachelY 29101 0.57275008 0.34454290 32.816162 19.740854
    Unten links KachelX 38741 KachelY + 1 29102 0.57265420 0.34445266 32.810669 19.735684
    Unten rechts KachelX + 1 38742 KachelY + 1 29102 0.57275008 0.34445266 32.816162 19.735684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34454290-0.34445266) × R
    9.02399999999637e-05 × 6371000     		dl = 574.919039999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34454290-0.34445266) × R
    9.02399999999637e-05 × 6371000     		dr = 574.919039999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57265420-0.57275008) × cos(0.34454290) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941229943987956 × 6371000     		do = 574.951704305649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57265420-0.57275008) × cos(0.34445266) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941260420202401 × 6371000     		du = 574.970320746347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34454290)-sin(0.34445266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941229943987956-0.941260420202401)×R²
    abs(0.57275008-0.57265420)×3.04762144447412e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.04762144447412e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.04762144447412e-05×40589641000000     		ar = 330556.033582985m²