Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38740 / 30033
↖ ↑ ↗
← N 14.854541°
E 32.805176°		 ← 590.38 m → N 14.854541°
E 32.810669°		 →
↑
590.40 m
↓
↑
590.40 m
↓
N 14.849231°
E 32.805176°		 ← 590.39 m →
348 562 m²		 N 14.849231°
E 32.810669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591133117675781 y=0.458274841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591133117675781 × 216)
    floor (0.591133117675781 × 65536)
    floor (38740.5)     		tx = 38740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458274841308594 × 216)
    floor (0.458274841308594 × 65536)
    floor (30033.5)     		ty = 30033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38740 / 30033 ti = "16/38740/30033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38740/30033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38740 ÷ 216
    38740 ÷ 65536     		x = 0.59112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30033 ÷ 216
    30033 ÷ 65536     		y = 0.458267211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59112548828125 × 2 - 1) × π
    0.1822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57255833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458267211914062 × 2 - 1) × π
    0.083465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.262214840921707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57255833} λ = 0.57255833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262214840921707))-π/2
    2×atan(1.29980576390257)-π/2
    2×0.915028487047224-π/2
    1.83005697409445-1.57079632675     		φ = 0.25926065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57255833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.805176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25926065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.854541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38740 KachelY 30033 0.57255833 0.25926065 32.805176 14.854541
    Oben rechts KachelX + 1 38741 KachelY 30033 0.57265420 0.25926065 32.810669 14.854541
    Unten links KachelX 38740 KachelY + 1 30034 0.57255833 0.25916798 32.805176 14.849231
    Unten rechts KachelX + 1 38741 KachelY + 1 30034 0.57265420 0.25916798 32.810669 14.849231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25926065-0.25916798) × R
    9.26699999999614e-05 × 6371000     		dl = 590.400569999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25926065-0.25916798) × R
    9.26699999999614e-05 × 6371000     		dr = 590.400569999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57255833-0.57265420) × cos(0.25926065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966579786490303 × 6371000     		do = 590.375112317476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57255833-0.57265420) × cos(0.25916798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96660353977539 × 6371000     		du = 590.389620533504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25926065)-sin(0.25916798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966579786490303-0.96660353977539)×R²
    abs(0.57265420-0.57255833)×2.37532850869693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.37532850869693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.37532850869693e-05×40589641000000     		ar = 348562.085904982m²