Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38740 / 28748
↖ ↑ ↗
← N 21.555284°
E 32.805176°		 ← 568.07 m → N 21.555284°
E 32.810669°		 →
↑
568.10 m
↓
↑
568.10 m
↓
N 21.550175°
E 32.805176°		 ← 568.09 m →
322 728 m²		 N 21.550175°
E 32.810669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591133117675781 y=0.438667297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591133117675781 × 216)
    floor (0.591133117675781 × 65536)
    floor (38740.5)     		tx = 38740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438667297363281 × 216)
    floor (0.438667297363281 × 65536)
    floor (28748.5)     		ty = 28748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38740 / 28748 ti = "16/38740/28748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38740/28748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38740 ÷ 216
    38740 ÷ 65536     		x = 0.59112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28748 ÷ 216
    28748 ÷ 65536     		y = 0.43865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59112548828125 × 2 - 1) × π
    0.1822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57255833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43865966796875 × 2 - 1) × π
    0.1226806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.385412672945251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57255833} λ = 0.57255833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385412672945251))-π/2
    2×atan(1.47022091666567)-π/2
    2×0.973503505444627-π/2
    1.94700701088925-1.57079632675     		φ = 0.37621068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57255833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.805176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37621068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.555284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38740 KachelY 28748 0.57255833 0.37621068 32.805176 21.555284
    Oben rechts KachelX + 1 38741 KachelY 28748 0.57265420 0.37621068 32.810669 21.555284
    Unten links KachelX 38740 KachelY + 1 28749 0.57255833 0.37612151 32.805176 21.550175
    Unten rechts KachelX + 1 38741 KachelY + 1 28749 0.57265420 0.37612151 32.810669 21.550175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37621068-0.37612151) × R
    8.91700000000273e-05 × 6371000     		dl = 568.102070000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37621068-0.37612151) × R
    8.91700000000273e-05 × 6371000     		dr = 568.102070000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57255833-0.57265420) × cos(0.37621068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93006350125127 × 6371000     		do = 568.071411887643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57255833-0.57265420) × cos(0.37612151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930096258505276 × 6371000     		du = 568.091419617769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37621068)-sin(0.37612151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93006350125127-0.930096258505276)×R²
    abs(0.57265420-0.57255833)×3.27572540059773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27572540059773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27572540059773e-05×40589641000000     		ar = 322728.228431587m²