Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3874 / 4878
↖ ↑ ↗
← S 32.472695°
W  9.755860°		 ← 4 122.48 m → S 32.472695°
W  9.711914°		 →
↑
4 121.59 m
↓
↑
4 121.59 m
↓
S 32.509762°
W  9.755860°		 ← 4 120.78 m →
16 987 667 m²		 S 32.509762°
W  9.711914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47296142578125 y=0.59552001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47296142578125 × 213)
    floor (0.47296142578125 × 8192)
    floor (3874.5)     		tx = 3874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59552001953125 × 213)
    floor (0.59552001953125 × 8192)
    floor (4878.5)     		ty = 4878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3874 / 4878 ti = "13/3874/4878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3874/4878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3874 ÷ 213
    3874 ÷ 8192     		x = 0.472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4878 ÷ 213
    4878 ÷ 8192     		y = 0.595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.05419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17027187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.19091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.599786488046143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17027187} λ = -0.17027187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.599786488046143))-π/2
    2×atan(0.548928826449074)-π/2
    2×0.502020440839207-π/2
    1.00404088167841-1.57079632675     		φ = -0.56675545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17027187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.755860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56675545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.472695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3874 KachelY 4878 -0.17027187 -0.56675545 -9.755860 -32.472695
    Oben rechts KachelX + 1 3875 KachelY 4878 -0.16950488 -0.56675545 -9.711914 -32.472695
    Unten links KachelX 3874 KachelY + 1 4879 -0.17027187 -0.56740238 -9.755860 -32.509762
    Unten rechts KachelX + 1 3875 KachelY + 1 4879 -0.16950488 -0.56740238 -9.711914 -32.509762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56675545--0.56740238) × R
    0.000646929999999935 × 6371000     		dl = 4121.59102999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56675545--0.56740238) × R
    0.000646929999999935 × 6371000     		dr = 4121.59102999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17027187--0.16950488) × cos(-0.56675545) × R
    0.000766989999999995 × 0.8436474038681 × 6371000     		do = 4122.47737812737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17027187--0.16950488) × cos(-0.56740238) × R
    0.000766989999999995 × 0.843299892171876 × 6371000     		du = 4120.77926455557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56675545)-sin(-0.56740238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8436474038681-0.843299892171876)×R²
    abs(-0.16950488--0.17027187)×0.000347511696223934×R²
    0.000766989999999995×0.000347511696223934×6371000²
    0.000766989999999995×0.000347511696223934×40589641000000     		ar = 16987666.9107049m²