Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38736 / 28973
↖ ↑ ↗
← N 20.401272°
E 32.783203°		 ← 572.54 m → N 20.401272°
E 32.788696°		 →
↑
572.50 m
↓
↑
572.50 m
↓
N 20.396124°
E 32.783203°		 ← 572.55 m →
327 781 m²		 N 20.396124°
E 32.788696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591072082519531 y=0.442100524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591072082519531 × 216)
    floor (0.591072082519531 × 65536)
    floor (38736.5)     		tx = 38736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442100524902344 × 216)
    floor (0.442100524902344 × 65536)
    floor (28973.5)     		ty = 28973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38736 / 28973 ti = "16/38736/28973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38736/28973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38736 ÷ 216
    38736 ÷ 65536     		x = 0.591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28973 ÷ 216
    28973 ÷ 65536     		y = 0.442092895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591064453125 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57217483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442092895507812 × 2 - 1) × π
    0.115814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.363841068116226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57217483} λ = 0.57217483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363841068116226))-π/2
    2×atan(1.43884551755637)-π/2
    2×0.963432847038612-π/2
    1.92686569407722-1.57079632675     		φ = 0.35606937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57217483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.783203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35606937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.401272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38736 KachelY 28973 0.57217483 0.35606937 32.783203 20.401272
    Oben rechts KachelX + 1 38737 KachelY 28973 0.57227071 0.35606937 32.788696 20.401272
    Unten links KachelX 38736 KachelY + 1 28974 0.57217483 0.35597951 32.783203 20.396124
    Unten rechts KachelX + 1 38737 KachelY + 1 28974 0.57227071 0.35597951 32.788696 20.396124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35606937-0.35597951) × R
    8.98599999999972e-05 × 6371000     		dl = 572.498059999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35606937-0.35597951) × R
    8.98599999999972e-05 × 6371000     		dr = 572.498059999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57217483-0.57227071) × cos(0.35606937) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.937274250057521 × 6371000     		do = 572.535362813151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57217483-0.57227071) × cos(0.35597951) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.937305570827478 × 6371000     		du = 572.554495151834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35606937)-sin(0.35597951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937274250057521-0.937305570827478)×R²
    abs(0.57227071-0.57217483)×3.13207699569329e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.13207699569329e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.13207699569329e-05×40589641000000     		ar = 327780.861326033m²