Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38734 / 41970
↖ ↑ ↗
← S 45.034715°
E 32.772217°		 ← 431.63 m → S 45.034715°
E 32.777710°		 →
↑
431.64 m
↓
↑
431.64 m
↓
S 45.038597°
E 32.772217°		 ← 431.60 m →
186 301 m²		 S 45.038597°
E 32.777710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591041564941406 y=0.640419006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591041564941406 × 216)
    floor (0.591041564941406 × 65536)
    floor (38734.5)     		tx = 38734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640419006347656 × 216)
    floor (0.640419006347656 × 65536)
    floor (41970.5)     		ty = 41970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38734 / 41970 ti = "16/38734/41970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38734/41970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38734 ÷ 216
    38734 ÷ 65536     		x = 0.591033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41970 ÷ 216
    41970 ÷ 65536     		y = 0.640411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591033935546875 × 2 - 1) × π
    0.18206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57198309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.28082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.882230700607513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57198309} λ = 0.57198309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882230700607513))-π/2
    2×atan(0.413858686406695)-π/2
    2×0.392396138114025-π/2
    0.78479227622805-1.57079632675     		φ = -0.78600405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57198309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.772217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78600405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.034715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38734 KachelY 41970 0.57198309 -0.78600405 32.772217 -45.034715
    Oben rechts KachelX + 1 38735 KachelY 41970 0.57207896 -0.78600405 32.777710 -45.034715
    Unten links KachelX 38734 KachelY + 1 41971 0.57198309 -0.78607180 32.772217 -45.038597
    Unten rechts KachelX + 1 38735 KachelY + 1 41971 0.57207896 -0.78607180 32.777710 -45.038597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78600405--0.78607180) × R
    6.77500000000331e-05 × 6371000     		dl = 431.635250000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78600405--0.78607180) × R
    6.77500000000331e-05 × 6371000     		dr = 431.635250000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57198309-0.57207896) × cos(-0.78600405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706678224898524 × 6371000     		do = 431.630417093318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57198309-0.57207896) × cos(-0.78607180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706630287775184 × 6371000     		du = 431.601137684654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78600405)-sin(-0.78607180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706678224898524-0.706630287775184)×R²
    abs(0.57207896-0.57198309)×4.79371233395032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79371233395032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79371233395032e-05×40589641000000     		ar = 186300.584048632m²