Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38732 / 30150
↖ ↑ ↗
← N 14.232438°
E 32.761231°		 ← 592.04 m → N 14.232438°
E 32.766723°		 →
↑
592.06 m
↓
↑
592.06 m
↓
N 14.227113°
E 32.761231°		 ← 592.05 m →
350 526 m²		 N 14.227113°
E 32.766723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591011047363281 y=0.460060119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591011047363281 × 216)
    floor (0.591011047363281 × 65536)
    floor (38732.5)     		tx = 38732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460060119628906 × 216)
    floor (0.460060119628906 × 65536)
    floor (30150.5)     		ty = 30150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38732 / 30150 ti = "16/38732/30150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38732/30150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38732 ÷ 216
    38732 ÷ 65536     		x = 0.59100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30150 ÷ 216
    30150 ÷ 65536     		y = 0.460052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59100341796875 × 2 - 1) × π
    0.1820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57179134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460052490234375 × 2 - 1) × π
    0.07989501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.250997606410614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57179134} λ = 0.57179134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250997606410614))-π/2
    2×atan(1.2853070078303)-π/2
    2×0.909599615207012-π/2
    1.81919923041402-1.57079632675     		φ = 0.24840290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57179134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.761231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24840290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.232438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38732 KachelY 30150 0.57179134 0.24840290 32.761231 14.232438
    Oben rechts KachelX + 1 38733 KachelY 30150 0.57188721 0.24840290 32.766723 14.232438
    Unten links KachelX 38732 KachelY + 1 30151 0.57179134 0.24830997 32.761231 14.227113
    Unten rechts KachelX + 1 38733 KachelY + 1 30151 0.57188721 0.24830997 32.766723 14.227113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24840290-0.24830997) × R
    9.29300000000188e-05 × 6371000     		dl = 592.05703000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24840290-0.24830997) × R
    9.29300000000188e-05 × 6371000     		dr = 592.05703000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57179134-0.57188721) × cos(0.24840290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969306314690035 × 6371000     		do = 592.040442396432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57179134-0.57188721) × cos(0.24830997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969329157920686 × 6371000     		du = 592.054394762341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24840290)-sin(0.24830997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969306314690035-0.969329157920686)×R²
    abs(0.57188721-0.57179134)×2.28432306510484e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.28432306510484e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.28432306510484e-05×40589641000000     		ar = 350525.836515647m²