Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3873 / 807
↖ ↑ ↗
← N 73.048237°
E160.400391°		 ← 2 849.48 m → N 73.048237°
E160.488281°		 →
↑
2 851.60 m
↓
↑
2 851.60 m
↓
N 73.022592°
E160.400391°		 ← 2 853.66 m →
8 131 518 m²		 N 73.022592°
E160.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9456787109375 y=0.1971435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9456787109375 × 212)
    floor (0.9456787109375 × 4096)
    floor (3873.5)     		tx = 3873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1971435546875 × 212)
    floor (0.1971435546875 × 4096)
    floor (807.5)     		ty = 807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3873 / 807 ti = "12/3873/807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3873/807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3873 ÷ 212
    3873 ÷ 4096     		x = 0.945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 807 ÷ 212
    807 ÷ 4096     		y = 0.197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945556640625 × 2 - 1) × π
    0.89111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79951494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197021484375 × 2 - 1) × π
    0.60595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90367015771167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79951494} λ = 2.79951494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90367015771167))-π/2
    2×atan(6.710477814157)-π/2
    2×1.42286428186967-π/2
    2.84572856373934-1.57079632675     		φ = 1.27493224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79951494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27493224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.048237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3873 KachelY 807 2.79951494 1.27493224 160.400391 73.048237
    Oben rechts KachelX + 1 3874 KachelY 807 2.80104892 1.27493224 160.488281 73.048237
    Unten links KachelX 3873 KachelY + 1 808 2.79951494 1.27448465 160.400391 73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 3874 KachelY + 1 808 2.80104892 1.27448465 160.488281 73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27493224-1.27448465) × R
    0.000447590000000053 × 6371000     		dl = 2851.59589000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27493224-1.27448465) × R
    0.000447590000000053 × 6371000     		dr = 2851.59589000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79951494-2.80104892) × cos(1.27493224) × R
    0.00153398000000005 × 0.291566501577403 × 6371000     		do = 2849.4755070936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79951494-2.80104892) × cos(1.27448465) × R
    0.00153398000000005 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 2853.65945209575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27493224)-sin(1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291566501577403-0.291994614822817)×R²
    abs(2.80104892-2.79951494)×0.000428113245413586×R²
    0.00153398000000005×0.000428113245413586×6371000²
    0.00153398000000005×0.000428113245413586×40589641000000     		ar = 8131518.24062734m²