Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3873 / 2150
↖ ↑ ↗
← N 64.661518°
W  9.799805°		 ← 2 091.25 m → N 64.661518°
W  9.755860°		 →
↑
2 091.98 m
↓
↑
2 091.98 m
↓
N 64.642704°
W  9.799805°		 ← 2 092.70 m →
4 376 369 m²		 N 64.642704°
W  9.755860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47283935546875 y=0.26251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47283935546875 × 213)
    floor (0.47283935546875 × 8192)
    floor (3873.5)     		tx = 3873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26251220703125 × 213)
    floor (0.26251220703125 × 8192)
    floor (2150.5)     		ty = 2150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3873 / 2150 ti = "13/3873/2150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3873/2150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3873 ÷ 213
    3873 ÷ 8192     		x = 0.4727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2150 ÷ 213
    2150 ÷ 8192     		y = 0.262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17103886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262451171875 × 2 - 1) × π
    0.47509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49256330657007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17103886} λ = -0.17103886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49256330657007))-π/2
    2×atan(4.44848374462075)-π/2
    2×1.34967635233827-π/2
    2.69935270467654-1.57079632675     		φ = 1.12855638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17103886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12855638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.661518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3873 KachelY 2150 -0.17103886 1.12855638 -9.799805 64.661518
    Oben rechts KachelX + 1 3874 KachelY 2150 -0.17027187 1.12855638 -9.755860 64.661518
    Unten links KachelX 3873 KachelY + 1 2151 -0.17103886 1.12822802 -9.799805 64.642704
    Unten rechts KachelX + 1 3874 KachelY + 1 2151 -0.17027187 1.12822802 -9.755860 64.642704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12855638-1.12822802) × R
    0.000328359999999916 × 6371000     		dl = 2091.98155999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12855638-1.12822802) × R
    0.000328359999999916 × 6371000     		dr = 2091.98155999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17103886--0.17027187) × cos(1.12855638) × R
    0.000766989999999995 × 0.427964990413793 × 6371000     		do = 2091.2480540119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17103886--0.17027187) × cos(1.12822802) × R
    0.000766989999999995 × 0.428261737565633 × 6371000     		du = 2092.69810697819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12855638)-sin(1.12822802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427964990413793-0.428261737565633)×R²
    abs(-0.17027187--0.17103886)×0.000296747151840193×R²
    0.000766989999999995×0.000296747151840193×6371000²
    0.000766989999999995×0.000296747151840193×40589641000000     		ar = 4376369.1477306m²