Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38728 / 28777
↖ ↑ ↗
← N 21.407048°
E 32.739258°		 ← 568.71 m → N 21.407048°
E 32.744751°		 →
↑
568.68 m
↓
↑
568.68 m
↓
N 21.401934°
E 32.739258°		 ← 568.73 m →
323 417 m²		 N 21.401934°
E 32.744751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590950012207031 y=0.439109802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590950012207031 × 216)
    floor (0.590950012207031 × 65536)
    floor (38728.5)     		tx = 38728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439109802246094 × 216)
    floor (0.439109802246094 × 65536)
    floor (28777.5)     		ty = 28777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38728 / 28777 ti = "16/38728/28777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38728/28777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38728 ÷ 216
    38728 ÷ 65536     		x = 0.5909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28777 ÷ 216
    28777 ÷ 65536     		y = 0.439102172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5909423828125 × 2 - 1) × π
    0.181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57140784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439102172851562 × 2 - 1) × π
    0.121795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.382632332767288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57140784} λ = 0.57140784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382632332767288))-π/2
    2×atan(1.46613887973583)-π/2
    2×0.972209899835992-π/2
    1.94441979967198-1.57079632675     		φ = 0.37362347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57140784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.739258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37362347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.407048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38728 KachelY 28777 0.57140784 0.37362347 32.739258 21.407048
    Oben rechts KachelX + 1 38729 KachelY 28777 0.57150372 0.37362347 32.744751 21.407048
    Unten links KachelX 38728 KachelY + 1 28778 0.57140784 0.37353421 32.739258 21.401934
    Unten rechts KachelX + 1 38729 KachelY + 1 28778 0.57150372 0.37353421 32.744751 21.401934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37362347-0.37353421) × R
    8.92600000000354e-05 × 6371000     		dl = 568.675460000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37362347-0.37353421) × R
    8.92600000000354e-05 × 6371000     		dr = 568.675460000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57140784-0.57150372) × cos(0.37362347) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.931010925298561 × 6371000     		do = 568.709401615081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57140784-0.57150372) × cos(0.37353421) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.931043500714078 × 6371000     		du = 568.729300355861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37362347)-sin(0.37353421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931010925298561-0.931043500714078)×R²
    abs(0.57150372-0.57140784)×3.25754155168223e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.25754155168223e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.25754155168223e-05×40589641000000     		ar = 323416.738747558m²