Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38727 / 29649
↖ ↑ ↗
← N 16.883403°
E 32.733765°		 ← 584.46 m → N 16.883403°
E 32.739258°		 →
↑
584.48 m
↓
↑
584.48 m
↓
N 16.878147°
E 32.733765°		 ← 584.48 m →
341 608 m²		 N 16.878147°
E 32.739258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590934753417969 y=0.452415466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590934753417969 × 216)
    floor (0.590934753417969 × 65536)
    floor (38727.5)     		tx = 38727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452415466308594 × 216)
    floor (0.452415466308594 × 65536)
    floor (29649.5)     		ty = 29649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38727 / 29649 ti = "16/38727/29649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38727/29649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38727 ÷ 216
    38727 ÷ 65536     		x = 0.590927124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29649 ÷ 216
    29649 ÷ 65536     		y = 0.452407836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590927124023438 × 2 - 1) × π
    0.181854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57131197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452407836914062 × 2 - 1) × π
    0.095184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.29903037982991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57131197} λ = 0.57131197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29903037982991))-π/2
    2×atan(1.3485505915882)-π/2
    2×0.932733653090134-π/2
    1.86546730618027-1.57079632675     		φ = 0.29467098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57131197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.733765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29467098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.883403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38727 KachelY 29649 0.57131197 0.29467098 32.733765 16.883403
    Oben rechts KachelX + 1 38728 KachelY 29649 0.57140784 0.29467098 32.739258 16.883403
    Unten links KachelX 38727 KachelY + 1 29650 0.57131197 0.29457924 32.733765 16.878147
    Unten rechts KachelX + 1 38728 KachelY + 1 29650 0.57140784 0.29457924 32.739258 16.878147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29467098-0.29457924) × R
    9.17400000000068e-05 × 6371000     		dl = 584.475540000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29467098-0.29457924) × R
    9.17400000000068e-05 × 6371000     		dr = 584.475540000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57131197-0.57140784) × cos(0.29467098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95689774975587 × 6371000     		do = 584.461442691393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57131197-0.57140784) × cos(0.29457924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956924389321107 × 6371000     		du = 584.477713812038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29467098)-sin(0.29457924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95689774975587-0.956924389321107)×R²
    abs(0.57140784-0.57131197)×2.66395652371854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66395652371854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66395652371854e-05×40589641000000     		ar = 341608.172601793m²