Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38726 / 30206
↖ ↑ ↗
← N 13.934067°
E 32.728272°		 ← 592.81 m → N 13.934067°
E 32.733765°		 →
↑
592.82 m
↓
↑
592.82 m
↓
N 13.928736°
E 32.728272°		 ← 592.83 m →
351 437 m²		 N 13.928736°
E 32.733765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590919494628906 y=0.460914611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590919494628906 × 216)
    floor (0.590919494628906 × 65536)
    floor (38726.5)     		tx = 38726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460914611816406 × 216)
    floor (0.460914611816406 × 65536)
    floor (30206.5)     		ty = 30206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38726 / 30206 ti = "16/38726/30206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38726/30206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38726 ÷ 216
    38726 ÷ 65536     		x = 0.590911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30206 ÷ 216
    30206 ÷ 65536     		y = 0.460906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590911865234375 × 2 - 1) × π
    0.18182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57121610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460906982421875 × 2 - 1) × π
    0.07818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.245628673653168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57121610} λ = 0.57121610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245628673653168))-π/2
    2×atan(1.27842477259364)-π/2
    2×0.906995838658384-π/2
    1.81399167731677-1.57079632675     		φ = 0.24319535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57121610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.728272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24319535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.934067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38726 KachelY 30206 0.57121610 0.24319535 32.728272 13.934067
    Oben rechts KachelX + 1 38727 KachelY 30206 0.57131197 0.24319535 32.733765 13.934067
    Unten links KachelX 38726 KachelY + 1 30207 0.57121610 0.24310230 32.728272 13.928736
    Unten rechts KachelX + 1 38727 KachelY + 1 30207 0.57131197 0.24310230 32.733765 13.928736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24319535-0.24310230) × R
    9.30500000000112e-05 × 6371000     		dl = 592.821550000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24319535-0.24310230) × R
    9.30500000000112e-05 × 6371000     		dr = 592.821550000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57121610-0.57131197) × cos(0.24319535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970573474253993 × 6371000     		do = 592.814407960736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57121610-0.57131197) × cos(0.24310230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970595876973497 × 6371000     		du = 592.828091267824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24319535)-sin(0.24310230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970573474253993-0.970595876973497)×R²
    abs(0.57131197-0.57121610)×2.24027195039334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.24027195039334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.24027195039334e-05×40589641000000     		ar = 351437.212322873m²