Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38726 / 30174
↖ ↑ ↗
← N 14.104613°
E 32.728272°		 ← 592.37 m → N 14.104613°
E 32.733765°		 →
↑
592.44 m
↓
↑
592.44 m
↓
N 14.099285°
E 32.728272°		 ← 592.39 m →
350 950 m²		 N 14.099285°
E 32.733765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590919494628906 y=0.460426330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590919494628906 × 216)
    floor (0.590919494628906 × 65536)
    floor (38726.5)     		tx = 38726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460426330566406 × 216)
    floor (0.460426330566406 × 65536)
    floor (30174.5)     		ty = 30174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38726 / 30174 ti = "16/38726/30174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38726/30174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38726 ÷ 216
    38726 ÷ 65536     		x = 0.590911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30174 ÷ 216
    30174 ÷ 65536     		y = 0.460418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590911865234375 × 2 - 1) × π
    0.18182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57121610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460418701171875 × 2 - 1) × π
    0.07916259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.248696635228851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57121610} λ = 0.57121610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248696635228851))-π/2
    2×atan(1.28235295334603)-π/2
    2×0.908484127694415-π/2
    1.81696825538883-1.57079632675     		φ = 0.24617193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57121610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.728272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24617193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.104613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38726 KachelY 30174 0.57121610 0.24617193 32.728272 14.104613
    Oben rechts KachelX + 1 38727 KachelY 30174 0.57131197 0.24617193 32.733765 14.104613
    Unten links KachelX 38726 KachelY + 1 30175 0.57121610 0.24607894 32.728272 14.099285
    Unten rechts KachelX + 1 38727 KachelY + 1 30175 0.57131197 0.24607894 32.733765 14.099285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24617193-0.24607894) × R
    9.2990000000015e-05 × 6371000     		dl = 592.439290000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24617193-0.24607894) × R
    9.2990000000015e-05 × 6371000     		dr = 592.439290000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57121610-0.57131197) × cos(0.24617193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969852399801104 × 6371000     		do = 592.373984503652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57121610-0.57131197) × cos(0.24607894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969875056628378 × 6371000     		du = 592.387823016658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24617193)-sin(0.24607894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969852399801104-0.969875056628378)×R²
    abs(0.57131197-0.57121610)×2.26568272745364e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26568272745364e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26568272745364e-05×40589641000000     		ar = 350949.722286161m²