Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38726 / 29650
↖ ↑ ↗
← N 16.878147°
E 32.728272°		 ← 584.48 m → N 16.878147°
E 32.733765°		 →
↑
584.54 m
↓
↑
584.54 m
↓
N 16.872890°
E 32.728272°		 ← 584.49 m →
341 655 m²		 N 16.872890°
E 32.733765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590919494628906 y=0.452430725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590919494628906 × 216)
    floor (0.590919494628906 × 65536)
    floor (38726.5)     		tx = 38726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452430725097656 × 216)
    floor (0.452430725097656 × 65536)
    floor (29650.5)     		ty = 29650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38726 / 29650 ti = "16/38726/29650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38726/29650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38726 ÷ 216
    38726 ÷ 65536     		x = 0.590911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29650 ÷ 216
    29650 ÷ 65536     		y = 0.452423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590911865234375 × 2 - 1) × π
    0.18182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57121610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452423095703125 × 2 - 1) × π
    0.09515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.29893450603067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57121610} λ = 0.57121610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29893450603067))-π/2
    2×atan(1.34842130711712)-π/2
    2×0.932687781740191-π/2
    1.86537556348038-1.57079632675     		φ = 0.29457924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57121610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.728272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29457924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.878147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38726 KachelY 29650 0.57121610 0.29457924 32.728272 16.878147
    Oben rechts KachelX + 1 38727 KachelY 29650 0.57131197 0.29457924 32.733765 16.878147
    Unten links KachelX 38726 KachelY + 1 29651 0.57121610 0.29448749 32.728272 16.872890
    Unten rechts KachelX + 1 38727 KachelY + 1 29651 0.57131197 0.29448749 32.733765 16.872890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29457924-0.29448749) × R
    9.17500000000016e-05 × 6371000     		dl = 584.53925000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29457924-0.29448749) × R
    9.17500000000016e-05 × 6371000     		dr = 584.53925000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57121610-0.57131197) × cos(0.29457924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956924389321107 × 6371000     		do = 584.477713812038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57121610-0.57131197) × cos(0.29448749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956951023735145 × 6371000     		du = 584.493981786394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29457924)-sin(0.29448749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956924389321107-0.956951023735145)×R²
    abs(0.57131197-0.57121610)×2.66344140382735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66344140382735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66344140382735e-05×40589641000000     		ar = 341654.91934772m²