Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3872 / 2144
↖ ↑ ↗
← N 64.774125°
W  9.843750°		 ← 2 082.56 m → N 64.774125°
W  9.799805°		 →
↑
2 083.32 m
↓
↑
2 083.32 m
↓
N 64.755390°
W  9.843750°		 ← 2 084.01 m →
4 340 147 m²		 N 64.755390°
W  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47271728515625 y=0.26177978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47271728515625 × 213)
    floor (0.47271728515625 × 8192)
    floor (3872.5)     		tx = 3872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26177978515625 × 213)
    floor (0.26177978515625 × 8192)
    floor (2144.5)     		ty = 2144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3872 / 2144 ti = "13/3872/2144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3872/2144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3872 ÷ 213
    3872 ÷ 8192     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2144 ÷ 213
    2144 ÷ 8192     		y = 0.26171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26171875 × 2 - 1) × π
    0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49716524893359))-π/2
    2×atan(4.46900258747256)-π/2
    2×1.35065904179333-π/2
    2.70131808358667-1.57079632675     		φ = 1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3872 KachelY 2144 -0.17180585 1.13052176 -9.843750 64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 3873 KachelY 2144 -0.17103886 1.13052176 -9.799805 64.774125
    Unten links KachelX 3872 KachelY + 1 2145 -0.17180585 1.13019476 -9.843750 64.755390
    Unten rechts KachelX + 1 3873 KachelY + 1 2145 -0.17103886 1.13019476 -9.799805 64.755390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13052176-1.13019476) × R
    0.000326999999999966 × 6371000     		dl = 2083.31699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13052176-1.13019476) × R
    0.000326999999999966 × 6371000     		dr = 2083.31699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.17103886) × cos(1.13052176) × R
    0.000766990000000023 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 2082.56413660183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.17103886) × cos(1.13019476) × R
    0.000766990000000023 × 0.426483656521353 × 6371000     		du = 2084.00952588632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13052176)-sin(1.13019476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.426483656521353)×R²
    abs(-0.17103886--0.17180585)×0.000295792749260226×R²
    0.000766990000000023×0.000295792749260226×6371000²
    0.000766990000000023×0.000295792749260226×40589641000000     		ar = 4340146.91008116m²