Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38719 / 31041
↖ ↑ ↗
← N  9.443643°
E 32.689819°		 ← 602.51 m → N  9.443643°
E 32.695312°		 →
↑
602.57 m
↓
↑
602.57 m
↓
N  9.438224°
E 32.689819°		 ← 602.52 m →
363 057 m²		 N  9.438224°
E 32.695312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590812683105469 y=0.473655700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590812683105469 × 216)
    floor (0.590812683105469 × 65536)
    floor (38719.5)     		tx = 38719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473655700683594 × 216)
    floor (0.473655700683594 × 65536)
    floor (31041.5)     		ty = 31041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38719 / 31041 ti = "16/38719/31041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38719/31041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38719 ÷ 216
    38719 ÷ 65536     		x = 0.590805053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31041 ÷ 216
    31041 ÷ 65536     		y = 0.473648071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590805053710938 × 2 - 1) × π
    0.181610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57054498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.473648071289062 × 2 - 1) × π
    0.052703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.165574051287674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57054498} λ = 0.57054498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.165574051287674))-π/2
    2×atan(1.18007034521264)-π/2
    2×0.867809496585688-π/2
    1.73561899317138-1.57079632675     		φ = 0.16482267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57054498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.689819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16482267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.443643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38719 KachelY 31041 0.57054498 0.16482267 32.689819 9.443643
    Oben rechts KachelX + 1 38720 KachelY 31041 0.57064085 0.16482267 32.695312 9.443643
    Unten links KachelX 38719 KachelY + 1 31042 0.57054498 0.16472809 32.689819 9.438224
    Unten rechts KachelX + 1 38720 KachelY + 1 31042 0.57064085 0.16472809 32.695312 9.438224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16482267-0.16472809) × R
    9.45800000000108e-05 × 6371000     		dl = 602.569180000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16482267-0.16472809) × R
    9.45800000000108e-05 × 6371000     		dr = 602.569180000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57054498-0.57064085) × cos(0.16482267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.986447466702629 × 6371000     		do = 602.510048409435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57054498-0.57064085) × cos(0.16472809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.986462980731673 × 6371000     		du = 602.519524188638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16482267)-sin(0.16472809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986447466702629-0.986462980731673)×R²
    abs(0.57064085-0.57054498)×1.55140290439837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55140290439837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55140290439837e-05×40589641000000     		ar = 363056.84098872m²