Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38717 / 29653
↖ ↑ ↗
← N 16.862377°
E 32.678833°		 ← 584.59 m → N 16.862377°
E 32.684326°		 →
↑
584.54 m
↓
↑
584.54 m
↓
N 16.857120°
E 32.678833°		 ← 584.60 m →
341 719 m²		 N 16.857120°
E 32.684326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590782165527344 y=0.452476501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590782165527344 × 216)
    floor (0.590782165527344 × 65536)
    floor (38717.5)     		tx = 38717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452476501464844 × 216)
    floor (0.452476501464844 × 65536)
    floor (29653.5)     		ty = 29653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38717 / 29653 ti = "16/38717/29653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38717/29653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38717 ÷ 216
    38717 ÷ 65536     		x = 0.590774536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29653 ÷ 216
    29653 ÷ 65536     		y = 0.452468872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590774536132812 × 2 - 1) × π
    0.181549072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57035323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452468872070312 × 2 - 1) × π
    0.095062255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.29864688463295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57035323} λ = 0.57035323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29864688463295))-π/2
    2×atan(1.3480335280655)-π/2
    2×0.932550160030484-π/2
    1.86510032006097-1.57079632675     		φ = 0.29430399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57035323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.678833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29430399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.862377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38717 KachelY 29653 0.57035323 0.29430399 32.678833 16.862377
    Oben rechts KachelX + 1 38718 KachelY 29653 0.57044911 0.29430399 32.684326 16.862377
    Unten links KachelX 38717 KachelY + 1 29654 0.57035323 0.29421224 32.678833 16.857120
    Unten rechts KachelX + 1 38718 KachelY + 1 29654 0.57044911 0.29421224 32.684326 16.857120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29430399-0.29421224) × R
    9.17500000000016e-05 × 6371000     		dl = 584.53925000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29430399-0.29421224) × R
    9.17500000000016e-05 × 6371000     		dr = 584.53925000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57035323-0.57044911) × cos(0.29430399) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.957004268395977 × 6371000     		do = 584.587473715616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57035323-0.57044911) × cos(0.29421224) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.957030878642322 × 6371000     		du = 584.60372862398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29430399)-sin(0.29421224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957004268395977-0.957030878642322)×R²
    abs(0.57044911-0.57035323)×2.66102463453155e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.66102463453155e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.66102463453155e-05×40589641000000     		ar = 341719.074500666m²