Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38714 / 30190
↖ ↑ ↗
← N 14.019356°
E 32.662353°		 ← 592.59 m → N 14.019356°
E 32.667846°		 →
↑
592.63 m
↓
↑
592.63 m
↓
N 14.014026°
E 32.662353°		 ← 592.61 m →
351 194 m²		 N 14.014026°
E 32.667846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590736389160156 y=0.460670471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590736389160156 × 216)
    floor (0.590736389160156 × 65536)
    floor (38714.5)     		tx = 38714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460670471191406 × 216)
    floor (0.460670471191406 × 65536)
    floor (30190.5)     		ty = 30190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38714 / 30190 ti = "16/38714/30190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38714/30190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38714 ÷ 216
    38714 ÷ 65536     		x = 0.590728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30190 ÷ 216
    30190 ÷ 65536     		y = 0.460662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590728759765625 × 2 - 1) × π
    0.18145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57006561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460662841796875 × 2 - 1) × π
    0.07867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.24716265444101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57006561} λ = 0.57006561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24716265444101))-π/2
    2×atan(1.28038735653168)-π/2
    2×0.907740121440731-π/2
    1.81548024288146-1.57079632675     		φ = 0.24468392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57006561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.662353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24468392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.019356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38714 KachelY 30190 0.57006561 0.24468392 32.662353 14.019356
    Oben rechts KachelX + 1 38715 KachelY 30190 0.57016148 0.24468392 32.667846 14.019356
    Unten links KachelX 38714 KachelY + 1 30191 0.57006561 0.24459090 32.662353 14.014026
    Unten rechts KachelX + 1 38715 KachelY + 1 30191 0.57016148 0.24459090 32.667846 14.014026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24468392-0.24459090) × R
    9.30199999999992e-05 × 6371000     		dl = 592.630419999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24468392-0.24459090) × R
    9.30199999999992e-05 × 6371000     		dr = 592.630419999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57006561-0.57016148) × cos(0.24468392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970213943712954 × 6371000     		do = 592.594811103328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57006561-0.57016148) × cos(0.24459090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970236473579885 × 6371000     		du = 592.608572070509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24468392)-sin(0.24459090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970213943712954-0.970236473579885)×R²
    abs(0.57016148-0.57006561)×2.25298669314089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25298669314089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25298669314089e-05×40589641000000     		ar = 351193.789631091m²