Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38709 / 30221
↖ ↑ ↗
← N 13.854081°
E 32.634888°		 ← 593.08 m → N 13.854081°
E 32.640381°		 →
↑
593.01 m
↓
↑
593.01 m
↓
N 13.848747°
E 32.634888°		 ← 593.09 m →
351 709 m²		 N 13.848747°
E 32.640381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590660095214844 y=0.461143493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590660095214844 × 216)
    floor (0.590660095214844 × 65536)
    floor (38709.5)     		tx = 38709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461143493652344 × 216)
    floor (0.461143493652344 × 65536)
    floor (30221.5)     		ty = 30221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38709 / 30221 ti = "16/38709/30221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38709/30221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38709 ÷ 216
    38709 ÷ 65536     		x = 0.590652465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30221 ÷ 216
    30221 ÷ 65536     		y = 0.461135864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590652465820312 × 2 - 1) × π
    0.181304931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56958624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461135864257812 × 2 - 1) × π
    0.077728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.244190566664566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56958624} λ = 0.56958624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244190566664566))-π/2
    2×atan(1.27658758234847)-π/2
    2×0.906297823781447-π/2
    1.81259564756289-1.57079632675     		φ = 0.24179932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56958624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.634888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24179932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.854081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38709 KachelY 30221 0.56958624 0.24179932 32.634888 13.854081
    Oben rechts KachelX + 1 38710 KachelY 30221 0.56968212 0.24179932 32.640381 13.854081
    Unten links KachelX 38709 KachelY + 1 30222 0.56958624 0.24170624 32.634888 13.848747
    Unten rechts KachelX + 1 38710 KachelY + 1 30222 0.56968212 0.24170624 32.640381 13.848747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24179932-0.24170624) × R
    9.30800000000231e-05 × 6371000     		dl = 593.012680000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24179932-0.24170624) × R
    9.30800000000231e-05 × 6371000     		dr = 593.012680000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56958624-0.56968212) × cos(0.24179932) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.97090869961463 × 6371000     		do = 593.081016104083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56958624-0.56968212) × cos(0.24170624) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.97093098341361 × 6371000     		du = 593.09462819567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24179932)-sin(0.24170624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97090869961463-0.97093098341361)×R²
    abs(0.56968212-0.56958624)×2.22837989799496e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22837989799496e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22837989799496e-05×40589641000000     		ar = 351708.599142428m²