Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38707 / 30226
↖ ↑ ↗
← N 13.827412°
E 32.623901°		 ← 593.15 m → N 13.827412°
E 32.629395°		 →
↑
593.14 m
↓
↑
593.14 m
↓
N 13.822078°
E 32.623901°		 ← 593.16 m →
351 825 m²		 N 13.822078°
E 32.629395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590629577636719 y=0.461219787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590629577636719 × 216)
    floor (0.590629577636719 × 65536)
    floor (38707.5)     		tx = 38707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461219787597656 × 216)
    floor (0.461219787597656 × 65536)
    floor (30226.5)     		ty = 30226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38707 / 30226 ti = "16/38707/30226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38707/30226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38707 ÷ 216
    38707 ÷ 65536     		x = 0.590621948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30226 ÷ 216
    30226 ÷ 65536     		y = 0.461212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590621948242188 × 2 - 1) × π
    0.181243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56939449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461212158203125 × 2 - 1) × π
    0.07757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.243711197668365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56939449} λ = 0.56939449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243711197668365))-π/2
    2×atan(1.27597577249361)-π/2
    2×0.906065098669116-π/2
    1.81213019733823-1.57079632675     		φ = 0.24133387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56939449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.623901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24133387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.827412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38707 KachelY 30226 0.56939449 0.24133387 32.623901 13.827412
    Oben rechts KachelX + 1 38708 KachelY 30226 0.56949037 0.24133387 32.629395 13.827412
    Unten links KachelX 38707 KachelY + 1 30227 0.56939449 0.24124077 32.623901 13.822078
    Unten rechts KachelX + 1 38708 KachelY + 1 30227 0.56949037 0.24124077 32.629395 13.822078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24133387-0.24124077) × R
    9.31000000000126e-05 × 6371000     		dl = 593.14010000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24133387-0.24124077) × R
    9.31000000000126e-05 × 6371000     		dr = 593.14010000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56939449-0.56949037) × cos(0.24133387) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.971020046437147 × 6371000     		do = 593.149032476098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56939449-0.56949037) × cos(0.24124077) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.971042292947653 × 6371000     		du = 593.162621789965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24133387)-sin(0.24124077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971020046437147-0.971042292947653)×R²
    abs(0.56949037-0.56939449)×2.22465105060854e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.22465105060854e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.22465105060854e-05×40589641000000     		ar = 351824.506875422m²