Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38703 / 30181
↖ ↑ ↗
← N 14.067317°
E 32.601929°		 ← 592.47 m → N 14.067317°
E 32.607422°		 →
↑
592.50 m
↓
↑
592.50 m
↓
N 14.061988°
E 32.601929°		 ← 592.48 m →
351 045 m²		 N 14.061988°
E 32.607422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590568542480469 y=0.460533142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590568542480469 × 216)
    floor (0.590568542480469 × 65536)
    floor (38703.5)     		tx = 38703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460533142089844 × 216)
    floor (0.460533142089844 × 65536)
    floor (30181.5)     		ty = 30181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38703 / 30181 ti = "16/38703/30181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38703/30181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38703 ÷ 216
    38703 ÷ 65536     		x = 0.590560913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30181 ÷ 216
    30181 ÷ 65536     		y = 0.460525512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590560913085938 × 2 - 1) × π
    0.181121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56901100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460525512695312 × 2 - 1) × π
    0.078948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.248025518634171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56901100} λ = 0.56901100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248025518634171))-π/2
    2×atan(1.28149263371848)-π/2
    2×0.908158659083437-π/2
    1.81631731816687-1.57079632675     		φ = 0.24552099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56901100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.601929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24552099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.067317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38703 KachelY 30181 0.56901100 0.24552099 32.601929 14.067317
    Oben rechts KachelX + 1 38704 KachelY 30181 0.56910687 0.24552099 32.607422 14.067317
    Unten links KachelX 38703 KachelY + 1 30182 0.56901100 0.24542799 32.601929 14.061988
    Unten rechts KachelX + 1 38704 KachelY + 1 30182 0.56910687 0.24542799 32.607422 14.061988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24552099-0.24542799) × R
    9.2999999999982e-05 × 6371000     		dl = 592.502999999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24552099-0.24542799) × R
    9.2999999999982e-05 × 6371000     		dr = 592.502999999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56901100-0.56910687) × cos(0.24552099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970010823896235 × 6371000     		do = 592.470748003431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56901100-0.56910687) × cos(0.24542799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970033424441694 × 6371000     		du = 592.484552140193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24552099)-sin(0.24542799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970010823896235-0.970033424441694)×R²
    abs(0.56910687-0.56901100)×2.2600545458995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2600545458995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2600545458995e-05×40589641000000     		ar = 351044.785353484m²