Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3870 / 802
↖ ↑ ↗
← N 73.175897°
E160.136719°		 ← 2 828.64 m → N 73.175897°
E160.224610°		 →
↑
2 830.70 m
↓
↑
2 830.70 m
↓
N 73.150440°
E160.136719°		 ← 2 832.80 m →
8 012 909 m²		 N 73.150440°
E160.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9449462890625 y=0.1959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9449462890625 × 212)
    floor (0.9449462890625 × 4096)
    floor (3870.5)     		tx = 3870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1959228515625 × 212)
    floor (0.1959228515625 × 4096)
    floor (802.5)     		ty = 802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3870 / 802 ti = "12/3870/802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3870/802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3870 ÷ 212
    3870 ÷ 4096     		x = 0.94482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 802 ÷ 212
    802 ÷ 4096     		y = 0.19580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    0.8896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79491300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19580078125 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91134006165088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79491300} λ = 2.79491300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91134006165088))-π/2
    2×atan(6.76214442004559)-π/2
    2×1.42397833278507-π/2
    2.84795666557014-1.57079632675     		φ = 1.27716034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79491300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27716034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.175897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3870 KachelY 802 2.79491300 1.27716034 160.136719 73.175897
    Oben rechts KachelX + 1 3871 KachelY 802 2.79644698 1.27716034 160.224610 73.175897
    Unten links KachelX 3870 KachelY + 1 803 2.79491300 1.27671603 160.136719 73.150440
    Unten rechts KachelX + 1 3871 KachelY + 1 803 2.79644698 1.27671603 160.224610 73.150440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27716034-1.27671603) × R
    0.000444310000000003 × 6371000     		dl = 2830.69901000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27716034-1.27671603) × R
    0.000444310000000003 × 6371000     		dr = 2830.69901000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79491300-2.79644698) × cos(1.27716034) × R
    0.0015339799999996 × 0.289434489306181 × 6371000     		do = 2828.63937977772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79491300-2.79644698) × cos(1.27671603) × R
    0.0015339799999996 × 0.289859753289033 × 6371000     		du = 2832.7954789751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27716034)-sin(1.27671603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289434489306181-0.289859753289033)×R²
    abs(2.79644698-2.79491300)×0.000425263982852864×R²
    0.0015339799999996×0.000425263982852864×6371000²
    0.0015339799999996×0.000425263982852864×40589641000000     		ar = 8012909.15674515m²