Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3870 / 798
↖ ↑ ↗
← N 73.277353°
E160.136719°		 ← 2 812.07 m → N 73.277353°
E160.224610°		 →
↑
2 814.13 m
↓
↑
2 814.13 m
↓
N 73.252045°
E160.136719°		 ← 2 816.20 m →
7 919 361 m²		 N 73.252045°
E160.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9449462890625 y=0.1949462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9449462890625 × 212)
    floor (0.9449462890625 × 4096)
    floor (3870.5)     		tx = 3870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1949462890625 × 212)
    floor (0.1949462890625 × 4096)
    floor (798.5)     		ty = 798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3870 / 798 ti = "12/3870/798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3870/798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3870 ÷ 212
    3870 ÷ 4096     		x = 0.94482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 798 ÷ 212
    798 ÷ 4096     		y = 0.19482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    0.8896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79491300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19482421875 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79491300} λ = 2.79491300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91747598480225))-π/2
    2×atan(6.80376397516161)-π/2
    2×1.42486370364976-π/2
    2.84972740729952-1.57079632675     		φ = 1.27893108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79491300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27893108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.277353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3870 KachelY 798 2.79491300 1.27893108 160.136719 73.277353
    Oben rechts KachelX + 1 3871 KachelY 798 2.79644698 1.27893108 160.224610 73.277353
    Unten links KachelX 3870 KachelY + 1 799 2.79491300 1.27848937 160.136719 73.252045
    Unten rechts KachelX + 1 3871 KachelY + 1 799 2.79644698 1.27848937 160.224610 73.252045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27893108-1.27848937) × R
    0.00044171000000004 × 6371000     		dl = 2814.13441000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27893108-1.27848937) × R
    0.00044171000000004 × 6371000     		dr = 2814.13441000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79491300-2.79644698) × cos(1.27893108) × R
    0.0015339799999996 × 0.287739087951381 × 6371000     		do = 2812.07024508955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79491300-2.79644698) × cos(1.27848937) × R
    0.0015339799999996 × 0.288162089438141 × 6371000     		du = 2816.20423294298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27893108)-sin(1.27848937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287739087951381-0.288162089438141)×R²
    abs(2.79644698-2.79491300)×0.000423001486760222×R²
    0.0015339799999996×0.000423001486760222×6371000²
    0.0015339799999996×0.000423001486760222×40589641000000     		ar = 7919360.56754074m²