Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3870 / 1953
↖ ↑ ↗
← N 68.122482°
W  9.931641°		 ← 1 820.82 m → N 68.122482°
W  9.887695°		 →
↑
1 821.47 m
↓
↑
1 821.47 m
↓
N 68.106101°
W  9.931641°		 ← 1 822.12 m →
3 317 753 m²		 N 68.106101°
W  9.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47247314453125 y=0.23846435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47247314453125 × 213)
    floor (0.47247314453125 × 8192)
    floor (3870.5)     		tx = 3870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23846435546875 × 213)
    floor (0.23846435546875 × 8192)
    floor (1953.5)     		ty = 1953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3870 / 1953 ti = "13/3870/1953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3870/1953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3870 ÷ 213
    3870 ÷ 8192     		x = 0.472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1953 ÷ 213
    1953 ÷ 8192     		y = 0.2384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2384033203125 × 2 - 1) × π
    0.523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64366041417249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17333983} λ = -0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64366041417249))-π/2
    2×atan(5.17407414606561)-π/2
    2×1.37987896974602-π/2
    2.75975793949203-1.57079632675     		φ = 1.18896161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18896161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.122482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3870 KachelY 1953 -0.17333983 1.18896161 -9.931641 68.122482
    Oben rechts KachelX + 1 3871 KachelY 1953 -0.17257284 1.18896161 -9.887695 68.122482
    Unten links KachelX 3870 KachelY + 1 1954 -0.17333983 1.18867571 -9.931641 68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 3871 KachelY + 1 1954 -0.17257284 1.18867571 -9.887695 68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18896161-1.18867571) × R
    0.00028589999999995 × 6371000     		dl = 1821.46889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18896161-1.18867571) × R
    0.00028589999999995 × 6371000     		dr = 1821.46889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17333983--0.17257284) × cos(1.18896161) × R
    0.000766989999999995 × 0.372623680767378 × 6371000     		do = 1820.82311576489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17333983--0.17257284) × cos(1.18867571) × R
    0.000766989999999995 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 1822.11947788182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18896161)-sin(1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372623680767378-0.372888975742732)×R²
    abs(-0.17257284--0.17333983)×0.000265294975353381×R²
    0.000766989999999995×0.000265294975353381×6371000²
    0.000766989999999995×0.000265294975353381×40589641000000     		ar = 3317753.34200511m²