Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38692 / 28716
↖ ↑ ↗
← N 21.718680°
E 32.541504°		 ← 567.43 m → N 21.718680°
E 32.546997°		 →
↑
567.46 m
↓
↑
567.46 m
↓
N 21.713576°
E 32.541504°		 ← 567.45 m →
322 002 m²		 N 21.713576°
E 32.546997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590400695800781 y=0.438179016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590400695800781 × 216)
    floor (0.590400695800781 × 65536)
    floor (38692.5)     		tx = 38692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438179016113281 × 216)
    floor (0.438179016113281 × 65536)
    floor (28716.5)     		ty = 28716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38692 / 28716 ti = "16/38692/28716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38692/28716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38692 ÷ 216
    38692 ÷ 65536     		x = 0.59039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28716 ÷ 216
    28716 ÷ 65536     		y = 0.43817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59039306640625 × 2 - 1) × π
    0.1807861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56795639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    0.1236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.388480634520935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56795639} λ = 0.56795639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388480634520935))-π/2
    2×atan(1.47473842417211)-π/2
    2×0.974929399290252-π/2
    1.9498587985805-1.57079632675     		φ = 0.37906247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56795639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.541504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37906247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.718680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38692 KachelY 28716 0.56795639 0.37906247 32.541504 21.718680
    Oben rechts KachelX + 1 38693 KachelY 28716 0.56805226 0.37906247 32.546997 21.718680
    Unten links KachelX 38692 KachelY + 1 28717 0.56795639 0.37897340 32.541504 21.713576
    Unten rechts KachelX + 1 38693 KachelY + 1 28717 0.56805226 0.37897340 32.546997 21.713576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37906247-0.37897340) × R
    8.90699999999689e-05 × 6371000     		dl = 567.464969999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37906247-0.37897340) × R
    8.90699999999689e-05 × 6371000     		dr = 567.464969999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56795639-0.56805226) × cos(0.37906247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929011976462591 × 6371000     		do = 567.429153406866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56795639-0.56805226) × cos(0.37897340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929044933100227 × 6371000     		du = 567.449282918074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37906247)-sin(0.37897340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929011976462591-0.929044933100227)×R²
    abs(0.56805226-0.56795639)×3.295663763625e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.295663763625e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.295663763625e-05×40589641000000     		ar = 322001.879124173m²