Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38691 / 30006
↖ ↑ ↗
← N 14.997852°
E 32.536011°		 ← 590.04 m → N 14.997852°
E 32.541504°		 →
↑
590.02 m
↓
↑
590.02 m
↓
N 14.992546°
E 32.536011°		 ← 590.06 m →
348 141 m²		 N 14.992546°
E 32.541504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590385437011719 y=0.457862854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590385437011719 × 216)
    floor (0.590385437011719 × 65536)
    floor (38691.5)     		tx = 38691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457862854003906 × 216)
    floor (0.457862854003906 × 65536)
    floor (30006.5)     		ty = 30006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38691 / 30006 ti = "16/38691/30006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38691/30006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38691 ÷ 216
    38691 ÷ 65536     		x = 0.590377807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30006 ÷ 216
    30006 ÷ 65536     		y = 0.457855224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590377807617188 × 2 - 1) × π
    0.180755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56786051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457855224609375 × 2 - 1) × π
    0.08428955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.26480343350119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56786051} λ = 0.56786051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26480343350119))-π/2
    2×atan(1.30317479009461)-π/2
    2×0.916279111354857-π/2
    1.83255822270971-1.57079632675     		φ = 0.26176190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56786051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.536011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26176190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.997852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38691 KachelY 30006 0.56786051 0.26176190 32.536011 14.997852
    Oben rechts KachelX + 1 38692 KachelY 30006 0.56795639 0.26176190 32.541504 14.997852
    Unten links KachelX 38691 KachelY + 1 30007 0.56786051 0.26166929 32.536011 14.992546
    Unten rechts KachelX + 1 38692 KachelY + 1 30007 0.56795639 0.26166929 32.541504 14.992546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26176190-0.26166929) × R
    9.2609999999993e-05 × 6371000     		dl = 590.018309999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26176190-0.26166929) × R
    9.2609999999993e-05 × 6371000     		dr = 590.018309999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56786051-0.56795639) × cos(0.26176190) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.96593552816672 × 6371000     		do = 590.043146964836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56786051-0.56795639) × cos(0.26166929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.965959489902761 × 6371000     		du = 590.057784026759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26176190)-sin(0.26166929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96593552816672-0.965959489902761)×R²
    abs(0.56795639-0.56786051)×2.39617360404676e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.39617360404676e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.39617360404676e-05×40589641000000     		ar = 348140.578715363m²