Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3869 / 803
↖ ↑ ↗
← N 73.150440°
E160.048828°		 ← 2 832.81 m → N 73.150440°
E160.136719°		 →
↑
2 834.90 m
↓
↑
2 834.90 m
↓
N 73.124945°
E160.048828°		 ← 2 836.98 m →
8 036 654 m²		 N 73.124945°
E160.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9447021484375 y=0.1961669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9447021484375 × 212)
    floor (0.9447021484375 × 4096)
    floor (3869.5)     		tx = 3869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1961669921875 × 212)
    floor (0.1961669921875 × 4096)
    floor (803.5)     		ty = 803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3869 / 803 ti = "12/3869/803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3869/803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3869 ÷ 212
    3869 ÷ 4096     		x = 0.944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 803 ÷ 212
    803 ÷ 4096     		y = 0.196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944580078125 × 2 - 1) × π
    0.88916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79337901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196044921875 × 2 - 1) × π
    0.60791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90980608086304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79337901} λ = 2.79337901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90980608086304))-π/2
    2×atan(6.75177937234514)-π/2
    2×1.42375617625964-π/2
    2.84751235251929-1.57079632675     		φ = 1.27671603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79337901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27671603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.150440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3869 KachelY 803 2.79337901 1.27671603 160.048828 73.150440
    Oben rechts KachelX + 1 3870 KachelY 803 2.79491300 1.27671603 160.136719 73.150440
    Unten links KachelX 3869 KachelY + 1 804 2.79337901 1.27627106 160.048828 73.124945
    Unten rechts KachelX + 1 3870 KachelY + 1 804 2.79491300 1.27627106 160.136719 73.124945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27671603-1.27627106) × R
    0.000444969999999989 × 6371000     		dl = 2834.90386999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27671603-1.27627106) × R
    0.000444969999999989 × 6371000     		dr = 2834.90386999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79337901-2.79491300) × cos(1.27671603) × R
    0.00153398999999999 × 0.289859753289033 × 6371000     		do = 2832.81394594069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79337901-2.79491300) × cos(1.27627106) × R
    0.00153398999999999 × 0.290285591630776 × 6371000     		du = 2836.97568546995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27671603)-sin(1.27627106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289859753289033-0.290285591630776)×R²
    abs(2.79491300-2.79337901)×0.000425838341742701×R²
    0.00153398999999999×0.000425838341742701×6371000²
    0.00153398999999999×0.000425838341742701×40589641000000     		ar = 8036654.41669285m²