Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38689 / 29473
↖ ↑ ↗
← N 17.806226°
E 32.525025°		 ← 581.53 m → N 17.806226°
E 32.530518°		 →
↑
581.54 m
↓
↑
581.54 m
↓
N 17.800996°
E 32.525025°		 ← 581.55 m →
338 190 m²		 N 17.800996°
E 32.530518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590354919433594 y=0.449729919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590354919433594 × 216)
    floor (0.590354919433594 × 65536)
    floor (38689.5)     		tx = 38689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449729919433594 × 216)
    floor (0.449729919433594 × 65536)
    floor (29473.5)     		ty = 29473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38689 / 29473 ti = "16/38689/29473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38689/29473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38689 ÷ 216
    38689 ÷ 65536     		x = 0.590347290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29473 ÷ 216
    29473 ÷ 65536     		y = 0.449722290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590347290039062 × 2 - 1) × π
    0.180694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56766877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449722290039062 × 2 - 1) × π
    0.100555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.31590416849617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56766877} λ = 0.56766877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31590416849617))-π/2
    2×atan(1.37149881653405)-π/2
    2×0.940786800183728-π/2
    1.88157360036746-1.57079632675     		φ = 0.31077727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56766877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.525025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31077727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.806226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38689 KachelY 29473 0.56766877 0.31077727 32.525025 17.806226
    Oben rechts KachelX + 1 38690 KachelY 29473 0.56776464 0.31077727 32.530518 17.806226
    Unten links KachelX 38689 KachelY + 1 29474 0.56766877 0.31068599 32.525025 17.800996
    Unten rechts KachelX + 1 38690 KachelY + 1 29474 0.56776464 0.31068599 32.530518 17.800996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31077727-0.31068599) × R
    9.12799999999714e-05 × 6371000     		dl = 581.544879999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31077727-0.31068599) × R
    9.12799999999714e-05 × 6371000     		dr = 581.544879999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56766877-0.56776464) × cos(0.31077727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952096169307733 × 6371000     		do = 581.528696077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56766877-0.56776464) × cos(0.31068599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95212407865247 × 6371000     		du = 581.545742763434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31077727)-sin(0.31068599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952096169307733-0.95212407865247)×R²
    abs(0.56776464-0.56766877)×2.79093447368428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79093447368428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79093447368428e-05×40589641000000     		ar = 338189.992718091m²