Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38685 / 29471
↖ ↑ ↗
← N 17.816686°
E 32.503052°		 ← 581.49 m → N 17.816686°
E 32.508545°		 →
↑
581.54 m
↓
↑
581.54 m
↓
N 17.811456°
E 32.503052°		 ← 581.51 m →
338 170 m²		 N 17.811456°
E 32.508545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590293884277344 y=0.449699401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590293884277344 × 216)
    floor (0.590293884277344 × 65536)
    floor (38685.5)     		tx = 38685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449699401855469 × 216)
    floor (0.449699401855469 × 65536)
    floor (29471.5)     		ty = 29471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38685 / 29471 ti = "16/38685/29471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38685/29471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38685 ÷ 216
    38685 ÷ 65536     		x = 0.590286254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29471 ÷ 216
    29471 ÷ 65536     		y = 0.449691772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590286254882812 × 2 - 1) × π
    0.180572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56728527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449691772460938 × 2 - 1) × π
    0.100616455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.31609591609465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56728527} λ = 0.56728527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31609591609465))-π/2
    2×atan(1.3717618233531)-π/2
    2×0.940878078583976-π/2
    1.88175615716795-1.57079632675     		φ = 0.31095983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56728527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.503052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31095983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.816686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38685 KachelY 29471 0.56728527 0.31095983 32.503052 17.816686
    Oben rechts KachelX + 1 38686 KachelY 29471 0.56738114 0.31095983 32.508545 17.816686
    Unten links KachelX 38685 KachelY + 1 29472 0.56728527 0.31086855 32.503052 17.811456
    Unten rechts KachelX + 1 38686 KachelY + 1 29472 0.56738114 0.31086855 32.508545 17.811456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31095983-0.31086855) × R
    9.12799999999714e-05 × 6371000     		dl = 581.544879999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31095983-0.31086855) × R
    9.12799999999714e-05 × 6371000     		dr = 581.544879999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56728527-0.56738114) × cos(0.31095983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952040326819786 × 6371000     		do = 581.494588168316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56728527-0.56738114) × cos(0.31086855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952068252030094 × 6371000     		du = 581.511644545247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31095983)-sin(0.31086855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952040326819786-0.952068252030094)×R²
    abs(0.56738114-0.56728527)×2.79252103079219e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79252103079219e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79252103079219e-05×40589641000000     		ar = 338170.16025608m²